Teses Defendidas
2016
Primeira defesa de Tese do Programa de Pós-graduação em Matemática Pura e Aplicada:
1. Jaqueline Luiza Horbach – Tese
Título: EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES E COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO ÓTIMO PARA EQUAÇÕES DISSSIPATIVAS TIPO PLACAS/BOUSSINESQ GENERALIZADAS EM Rn
Resumo: Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e taxas de decaimento para a energia e para a norma L2 da solução de uma equação semilinear do tipo placas/Boussinesq com termo de amortecimento (dissipação) fracionário e sob efeitos, para o caso de placas, de um termo de inércia rotacional generalizado. Mostramos que as taxas de decaimento dependem das potências fracionárias dos operadores e usando uma expansão assintótica da solução do problema linear é provado a otimalidade das taxas obtidas, para certas potências fracionárias.
Palavras chave: Equação tipo Placas/Boussinesq. Laplaciano fracionário. Inércia rotacional generalizada. Dissipação fracionária. Existência e unicidade de solução. Perfil assintótico. Taxa de decaimento ótima.
Banca: Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador – UFSC), Dr. Gustavo Perla Menzala (LNCC/UFRJ), Dr. Ryo Ikehata (University of Hiroshima), Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti (UEM), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Dr. Matheus Cheque Bortolan (UFSC), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (Suplente / UFSC). Data da defesa: 16/12/2016
2017
2. Sara Regina da Rosa Pinter – Tese
Título: SOBRE EQUIVARIANTIZAÇÕES DE CATEGORIAS MÓDULO E SEUS OBJETOS SIMPLES
Resumo: Sejam G um grupo finito que age em uma categoria de fusão C, H um subgrupo de G e M uma categoria módulo sobre C. Se M é um C-módulo H-equivariante, existe a equivariantização MH. O presente trabalho caracteriza os objetos simples em MH, em que M é uma categoria módulo indecomponível semissimples, bem como traz um estudo detalhado das ferramentas usadas para tal.
Palavras chave: Categoria módulo, Equivariantização, Dimensão de Frobenius-Perron, Grupo (anel) de Grothendieck.
Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora – UFSC), Dr. Juan Martín Mombelli (Universidad Nacional de Córdoba), Dr. Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Dr. Alcides Buss (UFSC), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC), Drª. Luz Adriana Maejía Castaño (UFSC), Dr. Sergio Tadao Martins (Suplente / UFSC). Data da defesa: 19/04/2017
3. Maíra Fernandes Gauer Palma – Tese
Título: Propriedades assintóticas para um problema semilinear de equações de evolução de segunda ordem com potências
fracionárias
Resumo: Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e também o comportamento assintótico de soluções para equações diferenciais de evolução de segunda ordem no tempo com operadores fracionários de Laplace em . Nós obtemos melhores taxas de decaimento com menos hipóteses nos dados iniciais quando comparado a resultados anteriores na literatura. Para certos casos, observamos que a estrutura dissipativa da equação é do tipo de perda de regularidade. Devido a essa estrutura especial, quando obtemos estimativas na região de alta frequência no espaço de Fourier, é necessário impor regularidade adicional nos dados iniciais para obter a mesma estimativa de decaimento da região de baixa frequência. Os resultados obtidos neste trabalho podem ser aplicados para vários problemas de valor inicial de equações de segunda ordem, como por exemplo, equação da onda, equação de placas, equação IBq, entre outras.
Palavras chave: 1. EDP. 2. propriedades assintóticas. 3. estabilidade. 4. problemas de evolução
Banca: Prof. Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Prof. Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala (UFRJ e LNCC), Prof. Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP), Prof. Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Prof. Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC) Data da defesa: 20/12/2017.
2018
4. Samara Costa Lima – Tese
Título: Inexact Versions of the Spingarn’s Partial Inverse Method with Applications to Operator Splitting and Optimization.
Resumo: Neste trabalho, propomos e estudamos a complexidade computacional (em número de iterações) de uma versão inexata do método das inversas parciais de Spingarn. Os principais resultados de complexidade são obtidos através de uma análise do método proposto no contexto do hybrid proximal extragradient (HPE) method de Solodov e Svaiter, para o qual resultados decomplexidade pontual e ergódica foram obtidos recentemente por Monteiro e Svaiter. Como aplicações, propomos e analisamos a complexidade computacional de um algoritmo inexato de decomposição — que generaliza o algoritmo de decomposição de Spingarn — e de um algoritmo paralelo do tipo forward-backward para otimização convexa com múltiplos termos na função objetivo. Além disso, mostramos que o algoritmo scaled proximal decomposition on the graph of a maximal monotone operator (SPDG), originalmente introduzido e estudado por Mahey, Oualibouch e Tao (1995), pode ser analisado através do formalismo das inversas parciais de Spingarn. Mais precisamente, mostramos que sob as hipóteses consideradas por Mahey, Oualibouch and Tao, a inversa parcial de Spingarn (do operador monótono maximal que define o problema em consideração) é um operador fortemente monótono, o que permite empregar resultados recentes sobre convergência e complexidade computational de métodos proximais para operadores fortemente monótonos. Ao fazer isso, obtemos adicionalmente uma convergência potencialmente mais rápida para o algorítmo SPDG e um limite superior mais preciso sobre o número de iterações necessárias para alcançar tolerâncias prescritas, especialmente para problemas mal-condicionados.
Palavras chave: Métodos de ponto proximal inexatos. Método das inversas parciais de Spingarn. Algoritmos de decomposição. Operadores fortemente monótonos. Taxas de convergência.
Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador – UFSC), Dr. Orizon Pereira Ferreira (UFG), Dr. Adriano De Cezaro (FURG), Dr. Licio Hernanes Bezerra (UFSC), Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC), Dr. Fábio Júnior Margotti (Suplente – UFSC). Data da defesa: 15/02/2018.
5. Jonathan Ruiz Quiroz – Tese
Título: Reconstrução de dados de fronteira associados à equação de Poisson.
Resumo: Primeiramente, analisamos o problema direto utilizando técnicas de linearização. Assim, substituímos o coeficiente convectivo pelo fluxo de distribuição de calor. Neste contexto, empregamos as seguintes abordagens: o método de colocação pseudoespectral de Chebyshev, a análise de Fourier e o método de Galerkin. Mostramos resultados de existência e unicidade da solução assim como, uma relação linear entre o fluxo e a temperatura na parede externa do tubo.
Para o problema inverso, utilizamos estimativas de temperatura na borda externa como dados de entrada e vemos que as aproximações do fluxo são recuperadas através da resolução dum sistema linear mal posto e, consequentemente, quando existe a solução, é sensível às pequenas perturbações nos dados. Para contornar esta dificuldade, as estimativas do fluxo serão recuperadas via técnicas de regularização: a decomposição em valores singulares truncados, regularização de Tikhonov e expansão truncada de valores singulares; sendo os parâmetros de regularização capturados pelo Princípio da Discrepância. Além disso, taxas de convergência são obtidas sob certas hipóteses na solução.
Para a modelagem computacional, utilizamos dados sintéticos e experimentais encontrados na literatura. Os resultados numéricos são comparados em termos de aproximação e tempo de execução.
Palavras chave: Problema inverso de calor, tubos enrolados, método pseudoespectral de Chebyshev, Análise de Fourier, Método de Galerkin, regularização, Princípio da Discrepância.
Banca: Dr. Fermín Sinforiano Viloche Bazãn (Orientador – UFSC), Dr. Julio Cesar Ruiz Claeyssen (UFRGS), Dr. Roger Behling (UFSC – Blumenau), Dr. Juliano de Bem Francisco (UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC) e Dr. Leonardo Silveira Borges (UFSC – Suplente). Data da defesa: 14/03/2018.
6. Lila Lisbeth Tenorio Paredes – Tese
Título: Método de Restauração Inexata Aplicado ao Problema de Minimização com Restrições de Ortogonalidade.
Resumo: Neste trabalho, apresentamos e estudamos o Algoritmo de Restauração Inexata não monótono para resolver problemas de minimização com restrições de ortogonalidade, que combina as ideias de Fischer et al [1] e Hager et al [2]. Desenvolvemos as ferramentas teóricas para caracterizar o subespaço tangente ao conjunto viável, o qual nos permite descrever o Algoritmo proposto. Mostramos, sob certas hipóteses, a boa definição do Algoritmo assim com a convergência global a pontos viáveis do problema.
O método de Restauração Inexata, é um método iterativo que consta de duas fases: viabilidade e otimalidade. Neste trabalho a fase de viabilidade será feita de forma exata utilizando a transformação de Cayley. Portanto, sequência de pontos restaurados pertencem ao conjunto viável. Na fase de otimalidade, as direções de descida podem ser obtidas da seguintes maneiras: o gradiente espectral projetado ou a minimização do Lagrangiano restrito ao subespaço tangente. Para resolver este ultimo problema utilizamos o método de gradiente conjugado [3].
O implementação computacional do Algoritmo proposto é realizado no software MATLAB e é comparado com o método de Wen et al [21] e o método Gradiente Conjugado do pacote ManOpt [51] para diferentes problemas testes da literatura.
Palavras chave: Restauração Inexata, não monótono, restrições de ortogonalidade, transformação de Cayley.
Banca: Dr. Fermín Sinforiano Viloche Bazãn (Orientador – UFSC), Drª. Sandra Augusta Santos (UNICAMP), Dr. Roger Behling (UFSC – Blumenau), Dr. Luciano Bedin, Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC) e Dr. Leonardo Silveira Borges (UFSC – Suplente). Data da defesa: 15/03/2018.
7. Edson Luiz Valmorbida – Tese
Título: Indicadores de erro e adaptação dinâmica de malha em aproximação de funcional de interesse para problemas parabólicos não lineares por métodos de Galerkin descontínuo.
Resumo: Este trabalho apresenta resultados teóricos e práticos sobre indicadores de erro equilibrados para funcional de interesse na aproximação de problemas elípticos lineares e parabólicos lineares e não-lineares pelo método de Galerkin descontínuo. A introdução dos fluxos equilibrados na representação do erro no funcional de interesse permite melhorar a qualidade do indicador de erro que é um primeiro resultado importante deste trabalho. A segunda contribuição do trabalho é a aproximação da solução do problema dual, que faz parte da representação do erro, pelo método de Galerkin descontínuo de ordem mais alta que o método primal. Neste caso, o indicador de erro torna-se assintoticamente exato. A construção de indicadores de erro em funcional de interesse para o método de Galerkin descontínuo no tempo e no espaço para problemas parabólicos lineares e não-lineares é a terceira contribuição deste trabalho. Todas as técnicas acima mencionadas usam recuperação equilibrada de fluxo discreto em espaço de Raviart-Thomas. A reconstrução de fluxo equilibrado numa base específica em espaços de Raviart-Thomas de alta ordem é mais uma contribuição importante. Resultados numéricos são apresentados no decorrer do trabalho para demonstrar a eficiência dos métodos apresentados. Os indicadores de erro também são utilizados para adaptação meta orientada em vários testes numéricos.
Palavras chave: Métodos de elementos finitos de Galerkin descontínuo. Espaços de Raviart-Thomas de alta ordem. Problemas elípticos. Problemas parabólicos não-lineares. Indicadores de erro em funcional de interesse.
Banca: Dr. Igor Mozolevski (Orientador – UFSC), Dr. Abimael Fernando Dourado Loula (LNCC), Dr. Álvaro Luiz de Bortoli (UFRGS), Dr. Licio Hernanes Bezerra (UFSC), Drª. Luciane Ines Assmann Schuh (UFSC). Data da defesa: 09/03/2018.
8. Paulinho Demeneghi – Tese
Título: Estrutura de ideais em álgebras de Steinberg
Resumo: Dado uma ação ampla de um semigrupo inverso sobre um espaço topológico Hausdorff, localmente compacto e totalmente desconexo, estudamos a estrutura de ideais do produto cruzado associado. Através do desenvolvimento de uma teoria de ideais induzidos, provamos que todo ideal no produto cruzado pode ser obtido como intersecção de ideais induzidos a partir de álgebras de grupos de isotropia. Isto pode ser interpretado como uma versão algébrica da conjectura de Effros-Hahn. Finalmente, como uma aplicação de nosso resultado, estudamos a estrutura de ideais da álgebra de Steinberg associada a um grupoide amplo interpretando esta álgebra como um produto cruzado algébrico por um semigrupo inverso.
Palavras chave: Semigrupo inverso, ação ampla, produto cruzado, álgebra de Steinberg, ideais, conjectura de Effros-Hahn.
Banca: Dr. Ruy Exel (Orientador – UFSC), Dr. Mikhailo Dokuchaev (IME-USP), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Eliezer Batista (UFSC). Data da defesa: 13/07/2018.
9. Maria Nilde Fernandes Barreto Frederico – Tese
Título: Existência de soluções fortes T-periódicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema de ferrofluidos.
Resumo: Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte estabelecemos a existência de soluções fortes T-periódicas no tempo (período T) para um sistema magneto-elástico. O nosso principal resultado é para o caso em que o sistema tem dissipação mecânica linear e acoplamentos não lineares, que inclui uma força externa T-periódica. Provamos também a estabilidade condicional assintótica das soluções periódicas obtidas com a energia total das perturbações decaindo para zero no tempo de forma exponencial. Consideramos também o sistema no caso em que a dissipação mecânica é não-linear, com a não-linearidade do tipo $\rho(u_t)=|u_t|^{p}u_t$ e acoplamentos lineares. Com hipóteses adequadas sobre $\rho$, provamos a existência e a unicidade de soluções fortes T-periódicas no tempo para $p \in [3,4]$. Na segunda parte deste trabalho, provamos a existência de soluções T-periódicas fracas (em dimensão 3) e fortes (dimensão 2) para as equações diferenciais parciais do modelo para ferrofluidos de Rosensweig, sob ação de uma função T-periódica nas equações para o campo magnético.
Palavras chave: soluções fortes, soluções periódicas, sistema magneto-elástico, magneto-elasticidade, ferrofluidos, fluidos magnéticos, modelo de Rosensweig.
Banca: Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (Orientador – UFSC), Drª. Valéria Neves Domingos Cavalcanti (UEM), Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala (LNCC), Dr. Cleverson Roberto da Luz (UFSC), Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC). Data da defesa: 31/07/2018.
10. Mateus Medeiros Teixeira – Tese
Título: Cohomology for partial actions of Hopf algebras
Resumo: Neste trabalho, a teoria da cohomologia para ações parciais de álgebras de Hopf comutativa sobre álgebras comutativas é formulado. Esta teoria generaliza a teoria da cohomologia para álgebras de Hopf introduzidas por Sweedler e a teoria da coomologia para ações parciais de grupo, introduzidas por Dokuchaev e Khrypchenko. Alguns exemplos não triviais, não provenientes de grupos, são construídos. Dada uma ação parcial de uma álgebra Hopf cocomutativa H sobre uma álgebra comutativa A, provamos que há uma nova Álgebra de Hopf Ã, sobre um anel comutativo E(A), no qual H ainda atua parcialmente e que dá origem ao mesmas cohomologias que a álgebra original A. Estudamos também as extensões cleft parciais de álgebras comutativas por ações parciais de álgebras de Hopf cocomutativas e provam que estas extensões cleft parciais podem ser vistas como uma extensão cleft de Hopf algebroids.
Palavras chave: Álgebras de Hopf; ações parciais; Cohomologia parcial; produto cruzado parcial; extensões cleft parciais
Banca: Dr. Eliezer Batista (Orientador – UFSC), Dr. Mikhailo Dokuchaev (USP), Dr. Antônio Paques (UFRGS), Dr. Mykola Khrypchenko (UFSC) e Dr. Felipe Lopes Castro (UFSC). Data da defesa: 28/09/2018.
11. Viviane Maria Beuter – Tese
Título: Partial actions of inverse semigroups and their associated algebras
Resumo: Estudamos a interação entre álgebras de Steinberg e skew álgebras de grupos e caracterizamos isomorfismos de skew álgebras de grupos que preservam diagonal, sobre álgebras comutativas, em termos de equivalência contínua de órbitas das ações parciais associadas. Dada uma ação parcial “?” de um semigrupo inverso S em uma álgebra A, pode-se construir a sua skew álgebra de semigrupo inverso A?S associada. Mostramos que qualquer álgebra de Steinberg, associada a um grupóide amplo e Hausdorff, pode ser visto como uma skew álgebra de semigrupos inverso.
Quando A é comutativo, provamos que A?S é simples se, e somente se, A é um subanel comutativo maximal de A?S e A é S-simples. Aplicamos este resultado no contexto de ações de semigrupos inversos topológicos para conectar a simplicidade do skew anel de semigrupo inverso associado com propriedades topológicas da ação, e apresentamos uma nova prova do critério de simplicidade para uma álgebra de Steinberg associada a um grupóide amplo e Hausdorff.
De maneira semelhante à Exel, construímos o grupóide de germes associado a uma ação parcial de semigrupos inversos. Descrevemos a álgebra de Steinberg de um grupóide de germes, amplo e Hausdorff como uma skew álgebra de semigrupo inverso. Também provamos que, sob hipóteses naturais, a direção oposta é válida. Finalizamos esta tese com uma descrição e estudo de equivalência contínua de órbitas para ações parciais topologicalmente principais de semigrupos inversos, e aplicamos nossos resultados em álgebras de caminhos de Leavitt.
Palavras chave: Semigrupos inversos. Grupóides amplos. Ações parciais. Skew álgebras de semigrupos inversos. Álgebras de Steinberg. Simplicidade. Grupóides de germes. Ações topologicamente principais. Equivalência contínua de órbitas.
Banca: Professores Dr. Daniel Gonçalves (Orientador – UFSC), Dr. Thierry Giordano (University of Ottawa), Dr. Per Johan Öinert (Bleking Intitute of Technology), Dr. Danilo Royer (UFSC) e Dr. Mykola Khrypchenko (UFSC). Data da defesa: 29/11/2018.
2019
12. Edson Cilos Vargas Júnior – Tese
Título: σ− evolution models with low regular time-dependent structural damping
Neste trabalho consideramos modelos de evolução σ sob o efeito de um termo de amortecimento representado pela ação do operador laplaciano com potência fracionária e coeficiente dependendo do tempo dado por b(t)(-Δ)θut. O objetivo do trabalho é obter taxas de decaimento do tipo Lp-Lq com 1≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞ para a solução e sua primeira derivada no tempo, considerando baixa regularidade no coeficiente b = b(t). Mais precisamente, considerando um t0 adequado, tomamos b(t) “confinada” na curva g(t) := (1+t)αlnγ(1+t) para t ≥ t0. Além disso, no intervalo [0, t0] assumimos b positiva e que satisfaça condições adequadas para garantir existência de solução. Nesse contexto, quando comparadas a resultados anteriores que assumem mais regularidade na função b, obtemos as mesmas taxas de decaimento para solução quando γ = 0 e obtemos taxas melhores quando γ ≠ 0. Para a primeira derivada no tempo da solução, obtemos taxas melhores inclusive quando γ = 0.
Escrita de maneira equivalente, uma importante conjectura afirmava que: “Para θ=0, quando o coeficiente do amortecimento é efetivo, mesmo sem assumir hipóteses sobre a derivada do coeficiente, é possível obter as mesmas taxas de decaimento para o problema”. No presente trabalho fornecemos uma resposta à conjectura, mostrando inclusive que há outras situações na qual a conjectura também permanece válida.
Palavras chave: Equação da onda, Equação de placas; Amortecimento friccional; Amortecimento viscoelástico; Amortecimento fracionário; Taxas de decaimento acentuadas; Amortecimento não efetivo; Amortecimento Efetivo; Métodos dos multiplicadores; Espaço de Fourier;
Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador UFSC), Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP), Dr. Marcello D’Abbicco (University of Bari), Dr. Ruy Coimbra Charão (UFSC) e Dr. Matheus Cheque Bortolan (UFSC). Data da defesa: 11/02/2019.
13. Juan Carlos Torres Espinoza – Tese
Título: Propriedades Assintóticas para Equações Dissipativas de Segunda Ordem com Laplacianos Fracionários em Rn
Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções para uma equação semilinear generalizada de evolução de segunda ordem com operadores de Laplace com potências fracionárias. Além disso, estudamos taxas de decaimento da soluçao e da energia associada na norma L2. Para a equação linear associada, usando uma expansão assintótica da solução do problema no espaço de Fourier mostramos otimalidade nas taxas obtidas . Também estudamos o caso de “super damping” onde refinando o método para os casos padrão provamos otimalidade da taxa na norma L2. Nossos resultados generalizam trabalhos anteriores que lidam com casos particulares das potências fracionárias.
Palavras chave: Equação tipo Placas/Boussinesq. Laplaciano fracionário. Taxas de decaimento. Expansão assintótica. Super damping. Otimalidade de taxa.
Banca: Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador UFSC), Higidio Portillo Oquendo (UFPR), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (UFSC), Dr. Cleverson Roberto da Luz (UFSC), e Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC). Data da defesa: 19/03/2019.
14. Carla Mörschbächer – Tese
Título: MÓDULOS SIMPLES DE ÁLGEBRAS DE HOPF PONTUADAS SOBRE O DIHEDRAL Dm
A classificação das álgebras de Hopf pontuadas finito dimensionais sobre , em que e , foi concluída em [12], para o caso em que é um corpo algebricamente fechado de característica zero. A menos de isomorfismo, tais álgebras são: 1) , com e 2) , com 3) com ou e e 4) com e . Os conjuntos , e são provenientes do método de classificação utilizado e são tais que as álgebras de Nichols , e , esta última associada às álgebras do item 4, possuem dimensão finita e e são famílias de elementos de . Neste trabalho, damos contribuições a cerca da teoria de representação destas álgebras. Calculamos conjuntos completos de módulos simples e não isomorfos sobre as álgebras descritas nos dois primeiros itens e para , em que . Além disso, estudamos os -módulos e os classificamos efetivamente quanto ao fato de ser simples ou não, para o caso em que e é um conjunto específico.
Palavras chave: Álgebras de Hopf pontuadas, Módulos simples, Grupo Dihedral, Representações de álgebras, Anel de Grothendieck.
Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora UFSC), Dr. Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Drª. Bojana Femic (Universidad de La República Montevideo), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC) e Dr. Sérgio Tadao Martins (UFSC). Data da defesa: 08/07/2019.
15. Felipe Augusto Tasca – Tese
Título: Um estudo do espaço dos caminhos de fronteira e da C*-álgebra associada a um ultragrafo com sinks.
Mostramos que certas C*-álgebras de ultragrafos podem ser vistas como um produto cruzado parcial. Focamos nos ultragrafos que satisfazem uma condição chamada RFUM2 que é uma restrição nos ranges das arestas. Uma versão para este resultado já existia, mas apenas para ultragrafos sem sinks. Generalizamos tal resultado pois aqui permitimos sinks e com isso, todas as C*-álgebras de grafos ficam inclusas no nosso caso. Mostramos uma maneira alternativa de provar que a C*-álgebra do ultragrafo é isomorfa à uma C*-álgebra de um grupóide através do grupóide de transformação. Obtemos uma condição equivalente para que se tenha um isomorfismo entre dois grupóides de ultragrafos. Caracterizamos os estados KMS e os estados ground de uma C*-álgebra associada a um ultragrafo que satisfaz RFUM2.
Palavras chave: C*-álgebras de Ultragrafos, Produto Cruzado Parcial, Grupóides, Estados KMS.
Banca: Dr. Daniel Gonçalves (Orientador UFSC), Dr. Alexandre Tavares Baraviera (UFRGS), Dr. Daniel Willem van Wyk (Dartmouth College), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC) e Dr. Danilo Royer (UFSC). Data da defesa: 30/08/2019.
16. Felipe Wisniewski – Tese
Título: MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LYAPUNOV E APLICAÇÕES EM REDUÇÃO DE MODELO
Neste trabalho nós tratamos de métodos de resolução da equação de Lyapunov AP + PAT = -BBT, com A sendo uma matriz de ordem n e B de tamanho n by m. Num primeiro momento abordamos métodos já conhecidos na literatura como o método ADI (Alternating Direction Implicit) e um método baseado em subespaços de Krylov racionais (RKSM). Ambos os métodos são testados em sistemas dinâmicos descritores esparsos e, para isso, desenvolvemos uma implementação do RKSM específica para esse tipo de sistema, inspirando-se em implementações já feitas com o método ADI. Nós também fazemos uma análise da solução explícita da equação de Lyapunov para identificar em P um autoespaço de A que seja dominante num certo sentido que será definido no trabalho. A partir disso, propomos uma escolha de parâmetros para o método ADI. Essa escolha mostrou-se promissora em testes numéricos que fizemos, principalmente em situações em que o método ADI é utilizado para redução de modelo em sistemas descritores. Essa noção de dominância também é utilizada para determinar a região que contém os parâmetros utilizados no método baseado em subespaços de Krylov racionais (RKSM). Ao realizar testes numéricos notamos uma melhora significativa do método RKSM ao restringir essa região de busca de parâmetros. Nesse trabalho nós também introduzimos um critério de parada auxiliar para redução de modelo via polos dominantes, da qual surge uma nova definição de polos dominantes para sistemas dinâmicos. Por fim, nós introduzimos um método novo para resolução da equação de Lyapunov, baseado em métodos iterativos do tipo splitting para sistemas lineares. O método é construído a partir da formulação de Kronecker da equação de Lyapunov. Apresentamos uma breve análise de convergência do método e ilustramos com algumas aplicações numéricas. Ao final do trabalho fazemos um comparativo entre os métodos para a equação de Lyapunov. A comparação é feita com base na performance dos métodos em exemplos numéricos de redução de modelo. Esses testes evidenciam, dentre outras coisas, evidencia as melhorias significativas que propomos nos métodos já existentes para resolução da equação de Lyapunov, bem como destaca o potencial do novo método que propomos neste trabalho.
Palavras chave: Equação de Lyapunov; Redução de modelo; Autovalores Dominantes; Método Splitting.
Banca: Dr. Licio Hernanes Bezerra (Orientador UFSC), Dr. Nelson Martins (Cepel), Dr. Francisco Damasceno Freitas (UNB) e Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC). Data da defesa: 11/11/2019.
2020
17. Ado Raimundo Dalla Costa – Tese
Título: Free actions on separated graph C*-algebras and generalized Gross-Tucker theorem
Dada uma ação livre de um grupo discreto sobre um grafo dirigido existe uma relação entre o grafo e o grafo produto skew através do teorema de Gross-Tucker e, além disso, há certos teoremas de dualidade envolvendo suas respectivas C*-álgebras. Neste trabalho mostramos que é possível estender alguns destes resultados para uma classe mais geral: as C*-álgebras de grafos separados. Através de uma abordagem diferente da usual definimos a C*-algebra reduzida de um grafo separado e, dessa forma, estendemos alguns dos teoremas de dualidade vistos até então para esta classe. Finalmente, como aplicação obtemos resultados similares para as C*-álgebras tame de grafos separados.
Palavras chave: Grafo produto skew. Teorema de Gross-Tucker. Fibrados de Fell. Coações de grupos discretos. C*-algebra de grafos separados. C*-álgebra reduzida de grafos separados. C*-álgebra tame de grafos separados.
Banca: Dr. Alcides Buss (Orientador UFSC), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC) e Dr. Mikhailo Dokuchaev (USP). Data da defesa: 14/07/2020.
18. Marina Geremia – Tese
Título: Relative-error inexact versions of Douglas-Rachford and ADMM splitting algorithms
Nesta tese, propomos e analisamos novas versões do método Douglas-Rachford splitting (DRS) para operadores monótonos maximais e do alternating direction method of multipliers (ADMM) para otimização convexa. Inicialmente, apresentamos um método Douglas-Rachford splitting (DRS) inexato e um método Douglas-Rachford-Tseng forward-backward (F-B) splitting para resolver inclusões monótonas de dois e quatro operadores, respectivamente. Provamos complexidade computacional em iteração, tanto no sentido pontual quanto no sentido ergódico, mostrando que ambos algoritmos admitem duas iterações diferentes: uma que pode ser incorporada ao hybrid proximal extragradient (HPE) method de Solodov e Svaiter, para a qual a complexidade em iteração é conhecida desde o trabalho de Monteiro e Svaiter, e outra que exige uma análise em separado. Em seguida, estudamos o comportamento assintótico de novas variantes dos algoritmos DRS e ADMM, ambos com efeito de relaxação e inércia, e com critério de erro relativo para os subproblemas. Por fim, com objetivo de demonstrar a aplicabilidade dos métodos propostos neste trabalho, realizamos experimentos numéricos aplicando nosso método ADMM (relaxado e com inércia) aos problemas LASSO e regressão logística.
Palavras chave: ADMM. Algoritmos de decomposição. Algoritmo de ponto proximal. Complexidade. Critério de erro relativo. Método de Douglas-Rachford splitting inexato. Método HPE. Métodos inerciais. Método do tipo Tseng forward-backward. Operadores monótonos. Relaxame.
Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador UFSC), Dr. Vinícius Viana Luiz Albani (UFSC), Dr. Antonio Carlos Gardel Leitao (UFSC), Dr. Jose Mario Martinez Perez (UNICAMP) e Dr. Alexandre Loureiro Madureira (LNCC). Data da defesa: 10/12/2020.
19. Raul Tintaya Marcavillaca – Tese
Título: On relative-error inertial-relaxed inexact proximal algorithms for monotone inclusion problems
Neste trabalho, propomos e estudamos uma versão inercial subrelaxada e com erro relativo do “hybrid proximal extragradient (HPE)” método de Sodolov e Svaiter para resolver problemas de inclusão monótono. Estudamos a convergência assintótica do método, bem como suas taxas de convergência não-assintótica global em termos de complexidade computacional em número de iterações. Analisamos o novo método sob condições mais flexíveis do que as existentes na literatura, tanto nos parâmetros de extrapolação quanto de erro relativo. A nova abordagem é aplicada a dois tipos de métodos do tipo “forward-backward” para resolver inclusões monótonas com determinada estrutura. Além disso, para resolver problemas de inclusão monótono envolvendo soma finita de operadores monótonos maximais, propomos e estudamos uma versão inercial relaxada do “projective splitting method (PSM)” de Eckstein e Svaiter. O algoritmo proposto se beneficia de uma combinação de efeitos inerciais e de relaxação, controlada por parâmetros dentro de uma determinada faixa. Propomos condições suficientes sobre esses parâmetros (também estudamos a interação entre eles) para garantir a convergência fraca das sequências geradas por nosso algoritmo. Como uma aplicação do algoritmo proposto, derivamos um algoritmo inercial semelhante ao método “alternating direction method of multipliers method (ADMM)” com multi blocos.
Palavras chave: Métodos inerciais e relaxados. Método de ponto proximal inexato. Método HPE. Algoritmos de decomposição. Algoritmos projetivos de decomposião. Algoritmos do tipo “forward-backward”. ADMM multibloco. Erro relativo. Complexidade em iteração. Taxas de c.
Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador UFSC), Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC), Dr. Antonio Carlos Gardel Leitao (UFSC), Dr. Paulo José da Silva e Silva (UNICAMP) e Dr. Alfredo Noel Iusem (IMPA). Data da defesa: 16/12/2020.
2021
20. Tadeu Zavistanovicz de Almeida – Tese
Título: BLUR SHIFT SPACES: A MULTI-POINT COMPACTIFICATION SCHEME FOR INFINITE-ALPHABET SHIFT SPACES
Propomos um novo tipo de espaços \textit{shift}, chamados \textit{blur shift spaces}. Estes espaços são construídos a partir de espaços \textit{shift} clássicos, aumentando-se o alfabeto com símbolos que representam subconjuntos infinitos do alfabeto original e então definindo-se uma topologia conveniente. Os espaços obtidos são inspirados e generalizam os espaços \textit{shift} apresentados por Ott, Tomforde e Willis em [15] e por Gonçalves e Royer em [7] os quais foram usados para encontrar isomorfismos entre C*- álgebras associadas a algumas classes de espaços \textit{shift}. Estudamos algumas propriedades topológicas dos \textit{blur shift spaces}, como axiomas de separação, axiomas de enumerabilidade, metrizabilidade e caracterizamos quando os espaços são compactos ou localmente compactos, dependendo da escolha dos conjuntos utilizados como novos símbolos do alfabeto. Em particular, a construção apresentada dos \textit{blur shif spaces} pode ser utilizada como um esquema multi-pontos para compactificar espaços \textit{shift} clássicos. Finalizamos caracterizando as funções contínuas que comutam com a função \textit{shift}, e os \textit{sliding block codes} generalizados, definidos sobre \textit{blur shift spaces}.
Palavras chave: Dinâmica simbólica. Dinâmica topológica. Alfabetos infinitos. Teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon. Sliding block codes generalizados.
Banca: Dr. Marcelo Sobottka (Orientador UFSC), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Alexandre Tavares Baraviera (UFRGS), Dr. Artur Oscar Lopes (UFRGS) e Dr. Udayan Darji (University of Louisville). Data da defesa: 22/01/2021.
21. Joel Conceição Rabelo – Tese
Título: MÉTODOS TIPO TIKHONOV COM MINIMIZAÇÃO INEXATA E O MÉTODO TIKHONOV KACZMARZ PARA RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES MAL POSTOS
Na primeira parte deste trabalho, propomos e estudamos as propriedades de três distintos algoritmos para obter soluções aproximadas estáveis para sistemas de equações mal postas modeladas por operadores lineares atuando entre espaços de Hilbert. Desenvolvemos uma versão inexata do método de Tikhonov de um passo penalizado com funcional uniformemente convexos, bem como uma versão inexata para os métodos de Tikhonov iterado. Para o caso de métodos de um passo, propomos dois algoritmos distintos, um baseado em escolha a priori e outro baseado na escolha a posteriori do parâmetro de regularização. Propriedades de convergência e estabilidade são provadas, bem como taxas ótimas de convergência (sob condição de fonte apropriadas). Estabelecemos ainda uma variante do método de Tikhonov iterado com a escolha a posteriori da sequência dos parâmetros de penalização. Para este algoritmo, provamos estabilidade para dados com ruídos e a propriedade de regularização. Na segunda parte deste trabalho propomos e analisamos um método tipo Tikhonov Iterado Kaczmarz relaxado não estacionário (TIKr). Generalizamos para o TIKr, critérios propostos em [4], para o método iterado de Tikhonov (iT). O objetivo é obter uma estratégia eficiente para a escolha dos multiplicadores de Lagrange neste método. Estabelecemos ainda a estabilidade e regularização do método.
Palavras chave: Problemas mal postos. Método de Tikhonov Iterado. Minimização inexata. Otimização Convexa. Distância de Bregman. Método Kaczmarz.
Banca: Dr. Fábio Júnior Margotti (Coorientador UFSC), Dr. Uri Michael Ascher (The University of British Columbia), Dr. Haroldo Fraga de Campos Velho (INPE) e Dr. Helcio Rangel Barreto Orlande (UFRJ). Data da defesa: 12/02/2021.
22. Luis Gustavo Longen – Tese
Título: Interação entre Dissipação Fracionária e Memória Não-Linear na Existência de Soluções para a Equação de Placas
Neste trabalho, consideramos uma equação de tipo de placas com inércia rotacional, sob os efeitos de um amortecimento fracionário e uma não-linearidade de tipo de memória. O objetivo desse trabalho é encontrar o expoente crítico p que é limítrofe entre a existência e a não-existência de soluções globais para o problema dado, e entender como o amortecimento fracionário interage com a não-linearidade de memória e como essa interação pode interferir em p. Com este fim, encontramos e utilizamos diversas estimativas L η – L q com 1 ≤ η ≤ 2 ≤ q ≤ ∞, bem como estimativas (L 1 ∩ L p ) – L p para p < 2, um caso delicado para o qual há uma perda na taxa de decaimento. São analisados diversos cenários com base na dimensão n e nos intervalos admissíveis para θ e γ, os parâmetros que caracterizam o amortecimento fracionário e a não-linearidade de memória, respectivamente. Com esse trabalho, concluímos que, embora na maioria dos casos as taxas de decaimento obtidas sejam suficientes para alcançar o expoente crítico esperado p, há uma combinação específica de intervalos envolvendo n, γ e θ para a qual a perda nas taxas de decaimento é grande o suficiente para interferir nos resultados de existência, deixando uma pequena lacuna para a qual a existência ou a não-existência de soluções globais é desconhecida.
Palavras chave: Equação de placas. Inércia Rotacional. Dissipação fracionária. Taxas de decaimento “sharp”. Não-Linearidade de tipo Memória. Estrutura de Perda de Regularidade. Dissipação efetiva. Espaço de Fourier.
Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador-UFSC), Dr. Marcello D’Abbicco (University of Bari), Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP) e Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC). Data da defesa: 29/06/2021
2022
23. Francielle Kuerten Boeing – Tese
Título: Semigrupos Inversos Quânticos e Bisseções generalizadas para algebroides de Hopf
Nesse trabalho é introduzida a noção de um semigrupo inverso quântico como uma generalização linearizada de semigrupos inversos. Além da álgebra de um semigrupo inverso, que é o exemplo natural de semigrupo inverso quântico, são apresentados vários outros exemplos dessa nova estrutura em diferentes contextos, relacionados a álgebras de Hopf, álgebras de Hopf fracas categorias de Hopf. Finalmente, uma noção generalizada de bisseções locais é definida para algebroides de Hopf comutativos sobre uma álgebra de base comutativa, gerando novos exemplos de semigrupos inversos quânticos associados a algebroides de Hopf da mesma maneira que semigrupos inversos estão relacionados com grupoides.
Palavras chave: Semigrupos Inversos Quânticos. Algebroides de Hopf. Grupoides. Semigrupos Inversos. Birretrações.
Banca: Eliezer Batista (Orientador-UFSC), Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR), Michael Dokuchaev (USP), Paulinho Demeneghi (UFSC) e Gilles Gonçalves de Castro (UFSC). Data da defesa: 03/03/2022.
24. Kledilson Peter Ribeiro Honorato – Tese
Título: Conexidade Geodésica e Existência de Geodésica Tipo-Tempo Fechada em Variedades de Lorentz
Neste trabalho estudamos dois problemas clássicos da geometria diferencial, a conexidade geodésica em variedades afins e de Lorentz e a existência de geodésicas tipo-tempo fechadas em variedades de Lorentz. No primeiro problema obtemos um resultado, no contexto das variedades afins, de conexidade geodésica que também nos fornece informações sobre a multiplicidade dos segmentos de geodésica e uma versão do teorema de Hadamard-Cartan. Para o caso lorentziano obtemos um resultado de conexidade geodésica por segmento de geodésica tipo-tempo – incluindo a existência de um laço geodésico tipo-tempo – e uma nova versão lorentziana do teorema de Hadamard-Cartan. Com relação ao segundo problema obtemos uma extensão do teorema 1.1 em \cite{flores18} para o caso lorentziano. Além disso, em decorrência da técnica utilizada para obter esta extensão conseguimos generalizar alguns resultados recentes sobre a existência de geodésicas tipo-tempo fechadas já conhecidos na literatura das variedades lorentzianas.
Palavras chave: Variedades afins e de Lorentz. Conexidade geodésica. Geodésica tipo-tempo fechada.
Banca: Ivan Pontual Costa e Silva (Orientador-UFSC), Paolo Piccione (USP), Jonatán Herrera Fernández (Universidad de Córdoba – Espanha), Abraão Mendes do Rêgo Gouveia (UFAL) e José Luis Flores Dorado (Universidad de Málaga – Espanha). Data da defesa: 28/03/2022.
25. Alessandra Piske – Tese
Título: Asymptotic properties of evolution models with a logarithmic-Laplacian type operator
Neste trabalho são considerados alguns problemas de Cauchy em R^n associados a novos modelos de evolução do tipo ondas baseados em um operador logaritmo-Laplaciano introduzido por Charão-Ikehata em [6]. Esse operador que é a composição da função logarítmica com I- \Delta^{\theta}, \theta >0, é mais fraco para dissipar a energia associada à equação da onda com dissipação estrutural, mas produzindo mesmo tipo de estimativas, como se observa nos trabalhos [6, 4]. Essa interessante consequência do uso desse novo operador também ocorre nos problemas estudados neste trabalho. Outra vantagem em usar esse tipo de operador é poder tomar dados iniciais em espaços mais gerais para certos modelos. Para os modelos considerados são estudados perfis assintóticos que ajudam a provar taxas ótimas de decaimento ou blow-up em tempo infinito para a norma L^2 das soluções dependendo da dimensão espacial. O problema considerado no Capítulo 3 possui perfil assintótico do tipo oscilatório. Taxa ótima de decaimento para a solução quando n>=3 é obtida e nos casos n=1,2 mostra-se que a solução explode em tempo infinito exibindo taxa ótima de crescimento. O segundo problema apresenta propriedade de perda de regularidade e devido a isso o seu perfil assintótico é do tipo difusivo para alta regularidade dos dados iniciais, do tipo oscilatório para baixa regularidade e é combinação dos dois tipos para uma regularidade limiar. Também são derivadas taxas ótimas de decaimento dependendo da regularidade imposta nos dados iniciais. O problema considerado no Capítulo 5 apresenta o fenômeno de dupla difusão e obtêm-se taxas ótimas de decaimento para a solução nos casos n>=2. Quando n=1 um parâmetro crítico \theta* =1/4 aparece de modo que a solução do problema decai com certa taxa ótima para \theta em (0, \theta*) e explode em tempo infinito se \theta em [\theta*,1/2) com taxa ótima de crescimento. Ao que parece este tipo de resultado para \theta>=\theta* ainda não tinha sido descoberto em trabalhos de outros autores.
Palavras chave: Equações do tipo ondas. Operador Laplaciano-logarítmico. Dissipação logarítmica. Perfil assintótico. Taxas de decaimento em L^2. Estimativas ótimas.
Banca: Ruy Coimbra Charao (Orientador-UFSC), Jaqueline Luiza Horbach (SENAI), Marcelo Moreira Cavalcanti (Universidade Estadual de Maringá), Jaime Muñoz Rivera (UFRJ), Ryo Ikehata (Hiroshima University) e Cleverson Roberto da Luz (UFSC). Data da defesa: 17/05/2022.
26. Everton Boos – Tese
Título: Avanços em técnicas iterativas para problemas inversos lineares e não lineares com aplicação na reconstrução de condutividade térmica
Propomos avanços a métodos iterativos para problemas inversos lineares e não lineares, visando expansão teórica e aplicação em situações práticas. Obter soluções estáveis para os chamados problemas discretos mal postos através de técnicas iterativas demanda o uso de critérios de parada especializados. Para o método de Newton proposto por Bazán e Boos, se as iterações são finalizadas através do princípio da discrepância de Morozov, existe uma estimativa ao erro relativo entre a solução exata e a capturada. Com o uso da condição de fonte do tipo Hölder, mostramos que a estimativa pode ser significantemente melhorada, em dois resultados distintos. Uma terceira estimativa é obtida, sem condições adicionais, da ordem do ruído nos dados. Todas fornecem estreitamento ao resultado original que motivou o estudo. No caso não linear, resolver problemas de mínimos quadrados através do método de Levenberg-Marquardt (LMM) é constância na literatura, pelas boas capacidades de convergência e estabilidade numérica. Diferentes versões propostas ao longo dos anos consideram modificações à matriz de scaling utilizada, tradicionalmente a matriz identidade, com a característica de serem não singulares. Estudamos o uso de LMM com matriz de scaling singular, motivados por bons resultados de técnicas similares em problemas lineares através, por exemplo, da regularização de Tikhonov. Verificamos que, sob hipóteses razoáveis, pontos de acumulação da sequência gerada por LMM com scaling singular são pontos estacionários do problema original. Mais ainda, com uso do critério de Armijo para escolha do passo e a condição de error bound (mais abrangente que considerar posto completo da matriz Jacobiana na solução), mostramos que esta convergência ocorre com taxa quadrática localmente, tal qual a versão clássica de LMM. Tendo em vista aplicações numéricas, estudamos um problema de condução de calor em 2D modelado por uma equação diferencial parcial com condições de fronteira mistas e condição inicial. Conhecer a condutividade térmica de um material é assunto de importância em processos industriais e na ciência, um tópico ativo na pesquisa das últimas décadas. Fornecemos uma forma de discretizar o modelo original através do método pseudo-espectral de Chebyshev nas variáveis espaciais, pelas suas boas capacidades de aproximação com baixo custo numérico, e a regra do trapézio na variável temporal, pela segunda ordem de convergência e estabilidade absoluta. O problema inverso de aproximar a condutividade térmica a partir de dados capturados de temperatura é então elaborado como um problema de mínimos quadrados não linear, que faz uso ativo da discretização pregressa. A minimização é feita através de LMM com matrizes de scaling singular escolhidas para representarem operadores de derivação discretos de primeira e segunda ordens, com a intenção de introduzir suavidade nos iterados construídos. Para amenizar o efeito de imprecisões nos dados de temperatura fornecidos, o princípio da discrepância é utilizado como critério de parada. Resultados numéricos sintéticos ilustram as capacidades da técnica proposta, com reconstruções de qualidade a um baixo custo operacional, mesmo em situações com restrições de medição. Um exemplo com dados provenientes de um experimento físico com fonte de calor móvel é conduzido, evidenciando a robustez do método proposto, bem como sua aptidão para aplicação em problemas mal postos não lineares reais.
Palavras chave: Problemas inversos. Métodos iterativos. Estimativas de erro. Semi-convergência. Método de Levenberg-Marquardt com scaling singular. Condutividade térmica. Método pseudo-espectral de Chebyshev.
Banca: Fermin Sinforiano Viloche Bazan (Orientador-UFSC), Saulo Pomponet Oliveira (UFPR), Hugo José Lara Urdaneta (UFSC – Blumenau) e Juliano de Bem Francisco (UFSC). Data da defesa: 23/05/2022.
27. Natã Machado – Tese
Título: Étale categories, restriction semigroups, groupoid extensions, and their operator algebras
Apresentamos álgebras de operadores não auto-adjuntas associadas a categorias étale e semigrupos de restrição, generalizando assim C*-álgebras de grupoides étale e semigrupos inversos. Mostramos também que existe uma versão reduzida para estas álgebras no caso de categorias cancelativas à esquerda e semigrupos de restrição amplos à esquerda. Além disso, apresentamos ações étale de semigrupos de restrição em espaços topológicos e em C*-álgebras. Mostramos também que uma ação de um semigrupo de restrição em uma C*-álgebra dá origem a uma álgebra produto semicruzado, que torna-se o componente principal para conectar a álgebra de um semigrupo de restrição com a álgebra de sua categoria étale correspondente. Além disso, apresentamos uma teoria de classificação geométrica de extensões não Abelianas de groupoides e que generaliza a teoria de classificação de Westman no caso abeliano, bem como a teoria de classificação de extensões de grupo devida a Schreier, Elenberg e Mac-lane. Como aplicação de nossas técnicas, demonstramos que uma extensão de grupoides N ? E ? G dá origem a um produto cruzado por grupoide de G pelo anel de grupoide de N, e este recupera o anel de grupoide de E a menos de isomorfismo.
Palavras chave: Categoria étale. semigrupo de restrição. ação de semigrupo de restrição. álgebra de operadores não auto-adjunta. extensão não-Abeliana de grupoide. sistema fator, cohomologia de grupoide. produto cruzado por grupoide. C*-álgebra de grupoide.
Banca: Gilles Gonçalves de Castro (Orientador-UFSC), Evgenios Kakariadis (Newcastle University), Stefan Wagner (Blekinge Tekniska Högskola) e Alcides Buss (UFSC). Data da defesa: 22/07/2022.
28. Matheus Bordin Marchi – Tese
Título: An equivalence of exact C-module categories coming from internal Homs
Neste trabalho desenvolvemos uma condição necessária e suficiente à definição de equivalência de categorias módulo quando estas são módulo exatas indecomponíveis sobre uma categoria tensorial finita C. A existência de determinado isomorfismo natural e de equivalências de funtores de C-módulos derivados de propriedades que envolvem Hom interno com outros resultados auxiliares são utilizados na demonstração. Um estudo detalhado das ferramentas usadas é dado.
Palavras chave: Categoria Módulo. Adjunção. Funtores Representáveis. Lema de Yoneda. Hom Interno. Equivalência.
Banca: Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora-UFSC), Bojana Femic (Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts), Juan Martín Mombelli (Universidad Nacional de Córdoba), Luz Adriana Mejía Castaño (Universidad del Norte) e Sérgio Tadao Martins (UFSC). Data da defesa: 26/07/2022.
29. Paula Savana Estácio Moreira – Tese
Título: Ideals of partial skew groupoid rings and primeness of groupoid graded rings
Dada uma ação parcial α de um grupóide G em um anel R, estudamos o anel skew parcial de grupóide R ⋊α G associado. Mostramos que há uma correspondência entre os ideais G-invariantes de R e os ideais graduados do anel G-graduado R ⋊α G. Fornecemos condições suficientes para que o anel skew parcial de grupóide R ⋊α G seja primo e condições necessárias e suficientes para a simplicidade do mesmo. Provamos que todo ideal de R ×α G é graduado se, e somente se, α possui a propriedade da interseção residual. Além disso, se a ação algébrica α é induzida por uma ação parcial topológica θ, mostramos que θ é minimal se e somente se o anel R é G-simples, θ é topologicamente transitiva se e somente se o anel R é G-primo e θ é topologicamente livre em todo subconjunto fechado invariante do espaço topológico se e somente se α possui a propriedade da interseção residual. Como aplicação, caracterizamos a Condição (K) para ultragrafos por meio das propriedades algébrica e topológicas das álgebras de ultragrafos associadas. Além disso, investigamos condições para que anéis graduados por grupóides sejam primos. Provamos uma equivalência para que um anel quase epsilon-fortemente graduado por um grupóide seja primo. Aplicamos nossos resultados para o caso de anel skew parcial de grupóide e obtemos uma caracterização de primalidade para essa classe de anéis.
Palavras chave: Anel skew parcial de grupóide, propriedade da interseção residual, primalidade, liberdade topológica, transitividade topológica, Condição (K), álgebra de ultragrafo, anel quase epsilon-fortemente graduado por grupóide.
Banca: Daniel Gonçalves (Orientador-UFSC), Johan Öinert (Blekinge Tekniska Högskola), Gilles Gonçalves de Castro (UFSC) e Dirceu Bagio (UFSC). Data da defesa: 21/11/2022.
30. Aluízio Antonio Fernandes da Silva – Tese
Título: Estados KMS e ground de C*-álgebras de espaços rotulados normais
Dado um espaço rotulado normal tal que a família acomodante e o alfabeto são enumeráveis, caracterizamos os estados KMS e ground de certa ação fortemente contínua do grupo topológico aditivo dos números reais na C*-álgebra desse espaço rotulado. Além disso, definimos a C*-álgebra de Toeplitz do espaço rotulado normal, e mostramos que essa C*-álgebra de Toeplitz pode ser vista como uma C*-álgebra de grupoide e como um produto cruzado parcial. Por fim, supondo que o espaço rotulado normal possui a família acomodante e o alfabeto enumeráveis, e usando a versão produto cruzado parcial da sua C*-álgebra de Toeplitz, caracterizamos os estados KMS e ground de certa ação fortemente contínua do grupo topológico aditivo dos números reais na C*-álgebra de Toeplitz desse espaço.
Palavras-chave: C*-álgebra de espaço rotulado. C*-álgebra de Toeplitz de espaço rotulado. Produto cruzado parcial. C*-álgebra de grupoide. Estado KMS.
Banca: Gilles Gonçalves de Castro (Orientador – UFSC), Daniel Gonçalves (UFSC), Alcides Buss (UFSC), Rodrigo Bissacot Proença (USP)
31. Elizangela Mendes Pereira – Tese
Título: Propriedades Assintóticas para um Modelo Magneto-Termo-Elástico em R^3
Neste trabalho consideramos o problema de Cauchy para um modelo magneto-termoelástico semilinear em R³ com apenas dois termos dissipativos. Os principais objetivos são obter taxas de decaimento para a energia total associada ao problema linear sobre diferentes hipóteses nos dados iniciais e provar a existência de solução global para o problema semilinear. O método desenvolvido neste trabalho para tratar o problema linear é baseado em ideias de Charão, da Luz e Ikehata (2013), porém por considerarmos somente duas dissipações, foi necessário usar algumas técnicas do artigo de Rivera e Racke (2001) trabalhando com o sistema no espaço de Fourier em termo de suas componentes e utilizando multiplicadores adequados. Os resultados obtidos para o problema linear melhoram resultados conhecidos na literatura. No último capítulo do trabalho, provamos a existência de solução global e taxas de decaimento para o problema semilinear com uma não linearidade do tipo |u|p–1u. Ao que parece, resultados para esse tipo de problema não eram conhecidos na literatura.
Palavras-chave: Sistema magneto-termo-elástico. Problema linear e semilinear. Existência de solução global. Taxas de decaimento.
Banca: Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Márcio Antônio Jorge da Silva (UEL), Jáuber Cavalcante de Oliveira, (UFSC), Matheus Cheque Bortolan (UFSC) e Ruy Coimbra Charão (UFSC).
32. Rafaela Filippozzi – Tese
O problema de inclusão no envoltório convexo consiste em determinar se um ponto pode ser escrito como combinação convexa de um conjunto finito de pontos dados, isto é, se tal ponto pertence ao envoltório convexo dos dados pontos. Este é um problema de decisão com importantes aplicações em geometria computacional e em fundamentos de programação linear. Neste trabalho, propomos o uso de métodos de otimização de primeira ordem para resolver o problema. Mostramos que métodos do tipo Frank-Wolfe e gradiente projetado, quando equipados com novos critérios de parada, são eficazes para tal problema de decisão, e apresentam desempenho favorável em relação a um algoritmo recente específico ao problema, chamado Algoritmo do Triângulo. Discutimos as conexões entre este algoritmo e Frank-Wolfe, mostrando que o primeiro pode ser interpretado como um Frank-Wolfe inexato. Apesar dessa semelhança, o Algoritmo do Triângulo é fortemente baseado em um teorema de alternativas conhecido como dualidade de distâncias. Usando tal teorema, desenvolvemos novos critérios de parada para métodos do tipo Frank-Wolfe e gradiente projetado, especializando-os para o problema de inclusão. Reportamos experimentos numéricos executados em exemplares artificiais, cuidadosamente gerados para cobrir diferentes cenários, que indicam qual algoritmo é preferível de acordo com a geometria do envoltório convexo e a posição relativa do ponto a ser consultado. No que diz respeito a aplicações potenciais, apresentamos dois exemplos ilustrativos, um relacionado a problemas de viabilidade de programação linear e outro relacionado a problemas de classificação de imagem. Além disso, também consideramos uma reformulação do problema na qual o ponto a ser consultado é a origem e os pontos do conjunto dado têm norma um. Investigamos uma propriedade que, quando satisfeita a cada iteração, permite melhorar a complexidade de iteração do Algoritmo do Triângulo. Introduzimos uma heurística que busca favorecer a ocorrência de tal propriedade e resultados numéricos preliminares atestam sua efetividade.
Palavras-chave: Otimização Convexa; Métodos do tipo Frank-Wolfe; Algoritmo do Triângulo; Problema de inclusão no envoltório convexo.
Banca: Douglas Soares Gonçalves (Orientador – UFSC), Max Leandro Nobre Gonçalves (UFG), Luis Felipe da Rocha Bueno (UNIFESP), Juliano de Bem Francisco (UFSC) e Maicon Marques Alves (UFSC)
33. Francieli Triches – Tese
Neste trabalho estudamos a conexidade do divisor excepcional total oriundo da redução de singularidades de uma folheação holomorfa singular não dicrítica de codimensão um em (C^3,0), após retirarmos do divisor as chamadas componentes nodais não interrompidas. Descrevemos o divisor excepcional através do conjunto de listas H, o qual podemos estudar utilizando grafos, homologia simplicial e resultados de paridade. As componentes nodais do conjunto singular de uma folheação são objetos de interesse pois localmente provocam uma separação no espaço de folhas. Em dimensão três, tratam-se de uniões de curvas cujos pontos genéricos são singularidades nodais em dimensão dois, e cujos pontos triplos são também nodais. O divisor excepcional total é obtido fazendo uma sucessão de blow-ups em centros permitidos; ao final da redução de singularidades, será uma união de hipersuperfícies invariantes. Mostramos que se o conjunto das componentes nodais não interrompidas tem n elementos, então o complementar deste conjunto no divisor possui n+1 componentes conexas.
Palavras-chave: Folheações holomorfas singulares. Componentes nodais. Divisor excepcional.
Banca: Marianna Ravara Vago (UFSC), André Luiz Pires Guedes (UFPR), Arturo Fernández Péres (UFMG) e Francisco Carlos Caramello Junior (UFSC)
34. Fabiano Pereira – Tese
Neste trabalho, inspirados pela literatura sobre perturbações de semigrupos gradientes, introduzimos as noções de semigrupos impulsivos gradientes e semigrupos impulsivos dinamicamente gradientes. Para este fim, tivemos que realizar uma pequena alteração na definição previamente existente de atrator global para semigrupos impulsivos, a fim de que os resultados envolvendo tais semigrupos para o caso sem impulsos se mantivessem no cenário com impulsos. Mostramos que estes conceitos, sob certas condições, são equivalentes e, com resultados de robusteza de perturbações de semigrupos dinamicamente gradientes, mostramos a permanência da estrutura gradiente para semigrupos impulsivos gradientes. Além disso, apresentamos um capítulo sobre superfícies impulsivas em dimensão finita, que é particularmente importante para a obtenção de exemplos concretos de semigrupos impulsivos.
Palavras-chave: Semigrupos impulsivos. Atratores globais. Semigrupos impulsivos gradientes. Semigrupos impulsivos dinamicamente gradientes. Função de Lyapunov. Superfícies
impulsivas.
Banca: Matheus Cheque Bortolan (UFSC), Alexandre Nolasco de Carvalho (USP), Paulo Mendes de Carvalho Neto (UFSC), Alexandre do Nascimento Oliveira Sousa
(UFSC)
35. Rubén Alex Martínez Muñoz – Tese
No presente trabalho, desenvolvemos novos algoritmos de aprendizagem supervisionada (não paramétrica) num domínio boreliano padrão, onde o nosso principal exemplo será o espaço euclidiano de dimensão finita; utilizando para tomar a decisão a estrutura métrica dos números p-ádicos em lugar da estrutura métrica dos números reais. Analisando de perto o modelo teórico da aprendizagem estatística, nota-se que a noção de consistência universal de um algoritmo depende apenas da estrutura boreliana do domínio e portanto ela é insensível à estrutura métrica ou mesmo topológica no domínio, desde que a estrutura boreliana permaneça intacta. Isto permite, através de uma injecão boreliana, reduzir os dados para um outro domínio onde os algoritmos sejam universalmente consistentes e mais eficientes, após o qual o algoritmo de aprendizagem composto com a reducão boreliana continua a ser universalmente consistente. Esta ideia foi sugerida no artigo de um dos orientadores [53]. A ideia principal da nossa abordagem é de construir uma reducão do domínio original (tipicamente o espaço euclidiano) para um espaço vetorial sobre o corpo Qp de números p-ádicos, e experimentar com as novas possibilidades que a estrutura p-ádica fornece. A diferença principal com o espaço euclidiano é que o espaço p-ádico é não-arquimediano, o que implica uma propriedade muito particular: duas bolas ou são disjuntas, ou uma está contida na outra. Como consequência, as árvores de busca são muito mais eficientes. Ao mesmo tempo, o espaço p-ádico possui uma estrutura linear rica, permitindo usar as ferramentas da teoria de matrizes, análise funcional, etc. O algoritmo principal, que é universalmente consistente, é definido nos números p-ádicos e combina as caraterísticas de algoritmos clássicos no espaço euclidiano, tais como o classificador k-NN de k vizinhos mais próximos, regra do histograma e árvores de decisão. Enquanto no espaço euclidiano todos esses algoritmos são bastante distintos, a geometria específica do espaço p-ádico permite combinar as vantagens deles em um algoritmo de aprendizagem só, e fazendo a composição do algoritmo p-ádico com uma injeção boreliana, obtemos um algoritmo universalmente consistente no espaço euclidiano que de certa maneira transporta também esse tipo de comportamento combinado. Finalizamos o plano teórico utilizando as novas regras desenvolvidas para construir algoritmos do tipo ensemble que preservam a consistência universal. Simples experimentos numéricos sobre alguns conjuntos de dados foram realizados, e mesmo não sendo extensivos nem aprofundados, eles mostram que para alguns tipos de dados o desempenho do novo algoritmo foi melhor que o de alguns classificadores tradicionais. Parece que a ideia de pesquisar algoritmos de aprendizagem no espaço p-ádico foi apenas usada antes na área de aprendizagem não supervisionada, especificamente na classificação via clusters [11, 12, 25], e na aprendizagem de máquina supervisionada paramétrica, especificamente em redes neurais p-ádicas [38]; ideias que são bem diferentes da nossa, pois trabalhamos no contexto da aprendizagem estatística supervisionada não paramétrica.
Palavras-chave: Aprendizagem de máquina supervisionada não paramétrica. Números p-ádicos. Redução de dimensionalidade boreliana. Floresta p-ádica Aleatória.
Banca: Vladimir G. Pestov (UFSC), Douglas Soares Gonçalves (UFSC), Florencia Graciela Leonardi (USP), Nacib André Gurgel e Albuquerque (UFPB), Roberto Imbuzeiro Moraes Felinto de Oliveira (IMPA)
36. Carlos Pecorari Neto – Tese
Neste trabalho, definimos os phi-atratores pullback generalizados para processos de evolução em espaços métricos completos, que são famílias compactas e positivamente invariantes, com uma taxa de atração pullback determinada pelo comportamento de uma função decrescente f que se anula no infinito. Encontramos condições sob as quais um dado processo de evolução possui um f-atrator pullback generalizado, tanto nos casos discreto quanto no contínuo. Apresentamos resultados para os casos especiais para obter um atrator pullback polinomial ou exponencial generalizado e aplicamos esses resultados para obter tais objetos para uma classe de equações da onda não-autônomas.
Palavras-chave: phi-atratores pullback generalizados. phi-pullback k-dissipatividade. equação da onda não-autônoma. processos de evolução. atratores pullback.
Banca: Matheus Cheque Bortolan (UFSC), Cleverson Roberto da Luz (UFSC), Jauber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Tomás Caraballo Garrido (Universidad de Sevilla)
37. Victor Luís Espinoza – Tese
O objetivo desta tese é obter condições em espaços-tempo para que o fenômeno de incompletude geodésica causal é genérico no sentido topológico (ou seja, é válido em um conjunto residual). Em nosso primeiro conjunto de novos resultados, baseamos nossas técnicas topológicas naquelas desenvolvidas por Lerner (1973) e obtemos um teorema de genericidade da incompletude geodésica em uma classe de métricas de espaço-tempo na topologia de Whitney forte (sob condições abertas adequadas) para uma variedade não compacta fixada contendo subvariedades fracamente presas de codimensão dois. Com algumas restrições extras para a curvatura em tais classes de espaços-tempos, obtemos um resultado análogo no caso de codimensão maior que dois. Para nosso último conjunto de novos resultados, exploramos uma situação semelhante, agora para conjuntos de dados iniciais contendo MOTS, sob condições adequadas. Para este caso, estruturas de variedades com dimensão infinita já estabelecidas na literatura podem ser adotadas. Com métodos de análise funcional baseados no trabalho de Biliotti, Javaloyes, and Piccione (2009), obtemos a genericidade da incompletude luminosa para este caso.
Palavras-chave: geometria Lorentziana. incompletude geodésica. genericidade.
Banca: Ivan Pontual Costa e Silva (UFSC), Jónatan Herrera Fernandez (Universidad de Córdoba), José Luis Flores Dorado (Universidad de Málaga), Francisco Carlos Caramello Junior (UFSC)
