Dissertações Defendidas

Perfil do Egresso

Os egressos do curso de Mestrado tem uma sólida formação matemática, tendo obrigatoriamente cursado disciplinas de Álgebra Linear (ou Computacional), Calculo Avançado e Análise Funcional. Desta maneira nossos egressos são aptos a lecionar no ensino superior ou seguir outras carreiras nas quais uma formação Matemática sólida seja fundamental. A maior parte de nossos egressos do Mestrado são aptos a seguir no doutorado e perseguir carreira acadêmica, sendo que alguns chegam a publicar suas dissertações em periódicos de ótima qualidade.

2024

Título:  Técnicas de Regularização Aplicadas à Tomografia Computadorizada

O presente trabalho apresenta os chamados problemas inversos, e faz um estudo de como é possível contornar as dificuldades para encontrar a solução desses problemas. Aborda, ainda, técnicas de regularização para problemas inversos lineares, associados a uma equação do tipo Ax = y, trazendo uma análise de convergência para o método do Gradiente, e alguns resultados dos métodos de Tikhonov, Tikhonov Iterado, e de um método mais moderno conhecido como Método das Projeções Relaxadas. Trata também do problema inverso da Tomografia Computadorizada, juntamente da discretização do problema, além de realizar testes numéricos que permitem a observação do desempenho dos métodos estudados aplicados a esse problema inverso

Palavras-chave: Problemas Inversos Lineares. Métodos de Regularização. Tomografia Computadorizada.

Banca: Fábio Júnior Margotti (Orientador – UFSC), Vinícius Viana Luiz Albani (UFSC), Joel Conceição Rabelo (UFPI)

Título:  Elements of learning theory and their application in the prediction of malignancy of breast lesions

A estratégia atual de controle do câncer de mama no sistema público de saúde brasileiro depende da determinação manual de escores BI-RADS para avaliação de malignidade durante exames de ultrassom, frequentemente resultando em biópsias desnecessárias. A previsão de malignidade a partir de características clínicas e de ultrassom poderia aliviar a carga de trabalho dos patologistas e compensar lacunas de habilidade em médicos iniciantes ou não especialistas. Métodos de aprendizagem de máquina têm se mostrado promissores no uso de características de ultrassom de modo B para previsão de malignidade de lesões de mama. Nesta dissertação, discutimos elementos da teoria de aprendizagem de máquina, incluindo desigualdades de concentração e dimensão VC, que são conceitos chave para a análise de propriedades de generalização de algoritmos de aprendizagem. Em seguida, mostramos como tais conceitos podem ser usados para elaboração de cotas de generalização para os valores preditivos. Em cenários com grandes tamanhos de amostra e pequena dimensão VC, um estudo de validação baseado nessas cotas de generalização seria possível. Também apresentamos uma abordagem baseada em gradient boosting para identificação de lesões benignas, que incorpora características clínicas, baseadas em Doppler e clássicas de ultrassom em modo B. Um classificador XGBoost foi treinado com dados de 1929 lesões de mama obtidas a partir de uma coorte de pacientes de quatro centros de referência de câncer de mama no Brasil. Nosso classificador alcançou uma área sob a curva de precisão-recall média (AUPRC) de 0,95 e boa calibração em validação cruzada repetida de 5 folds. Nosso trabalho fornece uma solução baseada em gradient boosting promissora que pode beneficiar a prática clínica. Embora não seja aplicável para estimar o erro de generalização das curvas de valor preditivo em nosso problema, devido a um tamanho de amostra insuficiente e à falta de precisão nas estimativas atuais para a dimensão VC de gradient boosted regression trees, as ferramentas matemáticas desenvolvidas nesta dissertação são de extrema importância para o design de algoritmos de aprendizagem confiáveis e podem ser aplicadas a uma gama mais ampla de problemas do que os considerados nesta dissertação.

Palavras-chave: Aprendizagem de Máquina. Teoria de Aprendizagem de Máquina. Modelagem de Predição Clínica. Câncer de Mama.  Ultrassom.

Banca: Douglas Soares Gonçalves (Orientador – UFSC), Roberto Imbuzeiro Moraes Felinto de Oliveira (IMPA), Alexandre Dias Porto Chiavegatto Filho (USP) e  Luiz-Rafael Santos (UFSC)

Título:  Problema Inverso da Equação do Calor com Condição de Contorno de Wentzell-Neumann

Neste trabalho, é realizado um estudo sobre o problema inverso da equação do calor com condição de contorno de Wentzell-Neumann não local, a partir de uma condição de sobredeterminação integral modelada como uma função energia. O problema é abordado sob dois aspectos: teóricos/analíticos e numéricos/computacionais. Na primeira abordagem são estabelecidas condições suficientes para a existência e unicidade de solução para o problema direto e inverso, resultando em dois principais teoremas. Na segunda abordagem, introduz-se um modelo numérico para a aproximação do termo fonte, a partir da semidiscretização do modelo contínuo e o método do ponto médio aplicado ao problema de valor inicial originado. Para lidar com o problema mal condicionado de dados com ruídos, o método de regularização utilizado se ampara na decomposição em valores singulares generalizada de um par de matrizes adequadas. A regularização é feita por truncamento, sendo o parâmetro de truncamento determinado pelo princípio da discrepância. Por fim, são apresentados exemplos numéricos para ilustrar a eficiência do método numérico
introduzido.

Palavras-chave: Problema inverso de fonte. Condição de contorno não local. Decomposição em valores singulares generalizada truncada. Princípio da discrepância.

Banca: Luciano Bedin (Orientador – UFSC), Leonardo Silveira Borges (UFSC), Everton Boos (UFSC) e  Pedro Henrique Konzen (UFRGS)

Título: Some extremal problems in Hilbert spaces of entire functions

O presente trabalho apresenta alguns problemas extremais em Análise de Fourier. Inicialmente, são discutidos alguns conceitos fundamentais da teoria de funções inteiras, tais como o princípio de Phragmén-Lindelöf, funções da classe de Pólya e funções de tipo limitado. Utilizando esses conceitos, os espaçoos de De Branges são definidos e suas propriedades, como espaços de Hilbert com núcleo reprodutor, são exploradas. Em seguida, são enunciados alguns problemas extremais relacionados à imersão de espaços de Paley-Wiener e a variações de problemas extremais clássicos com restrições de monotonicidade. Por meio da poderosa teoria dos espaços de De Branges, é possível encontrar as constantes ótimas para tais problemas.

Palavras-chave: Análise de Fourier. Funções Inteiras. Espaços de De Branges. Espaços de Paley-Wiener. Problemas Extremais.

Banca: Paulo Mendes de Carvalho Neto (Orientador – UFSC), Diogo Gaspar Teixeira Oliveira e Silva (Instituto Superior Técnico – Lisboa/Portugal),  Emanuel Augusto de Souza Carneiro (ICTP – Trieste)

Título: Partial monoid actions on objects in categories with pullbacks and their globalizations

Sejam M um monoide, C uma categoria com pullbacks e X um objeto de C . Nós introduzimos os conceitos de ação parcial e ação parcial forte de M em X e estudamos a questão de sua globalização. Se uma ação parcial possui uma reflexão na subcategoria de ações globais, então nós reduzimos o problema à verificação de que um certo diagrama é um pullback em C . Assim, nós damos uma construção de uma tal reflexão em termos de um colimite de um certo funtor com valores em C . Nós especificamos esta construção para o caso de categorias que admitem certos coprodutos e coequalizadores. Nós aplicamos estes resultados nas categorias de conjuntos, espaços topológicos e álgebras.

Palavras-chave: ação parcial. monoide. categoria com pullbacks. globalização. reflexão

Banca: Eliezer Batista (Orientador – UFSC), Joost Vercruyssea (Université Libre de Bruxelles),  Felipe Lopes Castro (UFSC)

Título: Equações de Navier-Stokes: Explorando Derivadas Fracionárias da Solução Fraca

Neste trabalho demonstramos a existência de solução fraca para as equacões de Navier-Stokes através de duas abordagens distintas. Em um primeiro momento, utilizando o método de Faedo-Galerkin, provamos a existência de solução fraca para Navier-Stokes em dimensão menor ou igual a quatro, em domínios limitados. Neste método, criamos um problema aproximado em um espaço vetorial de dimensão finita, e mostramos a existência de solução para este problema. Então, utilizando a técnica de passagem ao limite, recuperamos o espaço original do problema e provamos a existência de solução fraca. A unicidade desta também é provada quando a dimensão do espaço e dois, um resultado clássico na teoria. Em um segundo momento, através de uma discretização no tempo, demonstramos a existência de solução para domínios ilimitados no R n . Por fim, e provado que a solução em questão possui derivada fracionaria de ordem 0 Â < α < 1/2, e apresentamos uma regularidade para tal derivada, alem de uma estimativa.

Palavras-chave: Equações de Navier-Stokes. Método de Faedo-Galerkin. Derivada Fracionária.

Banca: Paulo Mendes de Carvalho Neto (Orientador – UFSC), Arlúcio da Cruz Viana (UFS),  Alexandre do Nascimento Oliveira Souza (UFSC)

 

Título: Entropia completamente positiva e K-automorfismos

Neste trabalho apresentamos a caracterização, devida a Rokhlin e Sinai, dos K-automorfismos em termos de sua entropia relativamente a partições mensuráveis Ąnitas.

Palavras-chave: Entropia. K-automorfismos. Espaços de probabilidade separáveis.

Banca: Rômulo Maia Vermersch (Orientador – UFSC), Nilson da Costa Bernardes Junior (UFRJ),  Paulo Mendes de Carvalho Neto (UFSC)

2023

Título: Métodos de reconstrução de fonte para a Equação do Calor

O presente trabalho mostra alguns métodos de regularização baseados em filtros para resolver o problema inverso de fonte (ISP). Os métodos abordados aqui são o QBVM geral e o método TSVE da literatura. Os métodos gerais QBVM e TSVE são aplicados para resolver o ISP para a equação de calor não homogênea em 1D e 2D com condições de Dirichlet. Como parâmetros de regularização, utiliza-se uma escolha a priori para o método QBVM, e a posteriori para o método TSVE pelo princípio da discrepância de Morozov. No final do trabalho, são apresentados exemplos numéricos do problema de reconstrução de fonte, comparando o método QBVM geral e o método TSVE, apresentando alguns gráficos e erros relativos para diferentes tamanhos de passo no tempo e no espaço.

Palavras-chave: Métodos de regularização baseado em filtros. Problema inverso de fonte (ISP). QBVM. TSVE. Principio da discrepância de Morozov.

Banca: Fermín Sinforiano Viloche Bazán (Orientador – UFSC),  Luciano Bedin (UFSC),  Jaúber Cavalcante de Oliveira (UFSC) e  Fabio Antonio Dorini (UTFPR)

 

Título: Geometry and Topology of Black Hole Horizons

A principal motivação deste trabalho se origina com o famoso e fundamental teorema de Hawking sobre a topologia dos buracos negros. O teorema afirma que em um espaço-tempo assintoticamente plano e estacionário de dimensão 4 contendo um buraco negro, e satisfazendo a condição de energia dominante, as seções transversais espaciais do horizonte de eventos são topologicamente esferas de dimensão 2. Neste trabalho, exploramos uma generalização natural do teorema de Hawking para dimensões superiores, obtido por Galloway e Schoen, contendo condições excepcionais, bem como versões posteriores desse resultado, que efetivamente excluem essas condições excepcionais e recuperam o resultado de Hawking em dimensão 4. Em certas dimensões superiores, somos capazes de mostrar que os horizontes de eventos, no caso estacionário, e as outermost marginally outer trapped surfaces (MOTSs), no caso geral, admitem uma métrica de curvatura escalar positiva. Essa condição impõe várias restrições conhecidas sobre a topologia e é consistente com exemplos da literatura de espaços-tempos de buraco negro estacionários de cinco dimensões com topologia de horizonte S2 × S1. A prova desses resultados requer técnicas de geometria diferencial, análise e se tem inspiração na teoria de superfícies mínimas. Portanto, este trabalho tem como objetivo examinar de perto as complexidades do problema e servir como uma introdução amigável ao tópico para leitores que possam não estar familiarizados com técnicas vindas da geometria semi-Riemanniana, relatividade geral e análise geométrica.

Palavras-chave: Superfícies marginalmente aprisionadas exteriormente. Topologia de buracos negros. Curvatura escalar positiva.

Banca: Ivan Pontual Costa e Silva (Orientador – UFSC), Abraão Mendes do Rêgo Gouveia (UFAL),  Vincent Grandjean (UFSC)

 

Título: A Integral Fracionária de Riemann-Liouville sobre os espaços lp

O estudo do cálculo fracionário cresceu muito nas últimas seis décadas, e cada vez mais está se relacionando com diversas áreas da matemática. Desta forma, ficamos motivados a entender a relação que havia entre o cálculo fracionário e a teoria de semigrupos. É por isso que no primeiro momento introduzimos as funções Gama, função Beta e a função Digamma, as quais, juntamente com suas propriedades, serão fundamentais para a obtenção dos principais resultados discutidos neste texto. Logo em seguida fazemos um breve curso de teoria da medida com o intuito de apresentar três grandes teoremas: o Teorema da Convergência Monótona de Lesbegue, o Teorema da Convergência dominada de Lesbegue e o Teorema da Convergência Dominada Generalizada de Lesbegue. Estes teoremas serão essenciais para nossos objetivos. Depois introduzimos o conceito de Espaços $L^p$, e em seguida mostramos que este espaço é Banach. Além disso, apresentamos uma breve teoria de integração, donde a sua finalidade são os teoremas de Tonelli-Fubinni e a desigualdade integral de Minkowski. Finalmente, apresentamos a teoria dos semigrupos juntamente com a teoria do cálculo fracionário. Para estabelecer a relação entre esses dois temas, mostraremos que a integral fracionária de Riemann-Liouville é um semigrupo fortemente contínuo, e, como resultado, estamos empenhados em exibir qual \'{e} o seu gerador infinitesimal.

Palavras-chave: Semigrupos, cálculo fracionário, integral fracionária de Riemann-Liouville, Gerador infinitesimal.

Banca: Paulo Mendes de Carvalho Neto (Orientador – UFSC), Renato Fehlberg Júnior (UFES), Ronaldo César Duarte (UFRN), Camila Aparecida Benedito Rodrigues de Lima (UFSC) e Rômulo Maia Vermersch (UFSC)

 

Título: Representações de C*-álgebras de grafos relativas

Estudamos C*-álgebras de grafos e descrevemos sua equivalência com as C*-álgebras de grafos relativas usando grafos estendidos. Descrevemos a dinâmica de aplicações de Markov com conjuntos de escape não-vazios e estudamos representações de C*-álgebras de grafos relativas em espaços de Hilbert que surgem de tais funções. Encontramos condições suficientes para que tais representações sejam fiéis em termos das transições dos intervalos de Markov para os intervalos de escape. Além disso, investigamos como sistemas ramificados e sistemas ramificados relativos em espaços de medida dão origem a representações de C*-álgebras de grafos e C*-álgebras de grafos relativas no espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis. Mostramos como as aplicações de Markov dão origem a sistemas ramificados relativos. Também mostramos uma equivalência entre as representações provenientes das aplicações de Markov e as representações provenientes de sistemas ramificados relativos e como a fidelidade de tais representações pode ser obtida.

Palavras-chave: C*-álgebras de grafos. Aplicações de Markov. Representações. Sistemas ramificados.

Banca: Daniel Gonçalves (Orientador – UFSC), Danilo Royer (UFSC),  Luiz Gustavo Cordeiro  (UFSC) e Paulo Pinto (Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa)

 

Título: Caracterização de álgebras de caminhos de Leavitt fortemente Z-graduadas e épsilon-fortemente Z-graduadas

Este trabalho contempla resultados acerca das caracterizações das álgebras de caminhos de Leavitt fortemente Z-graduadas e épsilon-fortemente Z-graduadas. Isto é, busca-se determinar a estrutura de cada álgebra de caminhos de Leavitt analisando o grafo E que gera a álgebra. De forma mais específica, dados E um grafo dirigido, K um corpo e considerando a álgebra de caminhos de Leavitt L_K(E) com sua Z-graduação canônica, tem-se como um dos objetivos mostrar que L_K(E) ser fortemente Z-graduada é equivalente a E ser linha finita, não possuir poço e satisfazer a Condição (Y), que por sua vez, é equivalente a E ser linha finita, não possuir poço e satisfazer a Condição (Y1). Ainda, mostraremos que L_K(E) é épsilon-fortemente Z-graduada se, e somente se, E é finito.

Palavras-chave: Álgebras de caminhos de Leavitt, Z-graduação forte, épsilon Z-graduação forte.

Banca: Danilo Royer (Orientador – UFSC), Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS),  Dirceu Bagio (UFSC)

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