Histórico e Objetivos

HISTÓRICO E CONTEXTUALIZAÇÃO DO PROGRAMA

O Programa de Pós–Graduação em Matemática Pura e Aplicada da Universidade Federal de Santa Catarina iniciou suas atividades em 1975, tendo como objetivos principais a formação e o aprimoramento de alto nível de profissionais para o exercício de atividades de pesquisa, de extensão e do magistério superior em áreas da Matemática e Matemática Aplicada e a promoção e desenvolvimento destas áreas no Estado de Santa Catarina, na Região Sul, no País e no Mundo.

Após um período de funcionamento precário, o programa foi reestruturado em 1995, quando recebeu o conceito 3 da CAPES. O conceito foi elevado para 4 em 2001 e, a despeito dos inúmeros indicadores compatíveis com notas superiores, mantém-se neste patamar desde então.

Em 2010 o curso de Mestrado foi reformulado de maneira a pavimentar o caminho para a abertura do curso de Doutorado, o que aconteceu em Março de 2013 com o ingresso dos primeiros alunos. Em 2016 o curso formou o primeiro doutor, com a defesa de tese da aluna Jaqueline Luiza Horbach em 16/12/2016.  Com 26 discentes cursando o Doutorado, o programa está no caminho para formação consistente de doutores nos próximos anos.

Impulsionado pelos preparativos para abertura do curso de Doutorado, e sua posterior implementação, o programa ganhou projeção internacional, tendo ampliado gradativamente seu corpo docente com profissionais qualificados. Atualmente o programa lidera acordos de cooperação internacionais entre a UFSC e a Universidade de Ottawa, Canadá e University de Wollongong, Austrália. Ainda, os docentes do programa mantém inúmeras atividades de intercâmbio internacional com seus pares estrangeiros.  A maior visibilidade do programa atraiu vários professores, visitantes,  pós-doutores e discentes, o que se traduz em um ambiente científico saudável e produtivo.

Os bons resultados e a crescimento qualitativo e quantitativo elevaram o conceito do programa na avaliação Capes, de 4 para 5, no quadriênio 2013-2016.

Finalmente, vale ressaltar que o programa é o único programa de Pós-Graduação em Matemática do estado de Santa Catarina.

 

OBJETIVOS

            Objetivos Gerais e Específicos

O programa tem como objetivos principais a formação e o aprimoramento de alto nível de profissionais para o exercício de atividades de pesquisa, de extensão e do magistério superior em áreas da Matemática e da Matemática Aplicada e a promoção e desenvolvimento destas áreas no Estado de Santa Catarina, na Região Sul, no País e no Mundo.

O curso de mestrado está atualmente estabilizado, com a seguinte produção de mestres desde 1997: 1997 (3), 1998 (4), 1999 (4), 2000 (4), 2001 (7), 2002 (3), 2003 (5), 2004 (6), 2005 (13), 2006 (06), 2007 (10), 2008 (9), 2009 (4), 2010 (6), 2011 (10), 2012 (3), 2013 (11), 2014 (5) , 2015 (8) e 2016 (7). Um dos objetivos que perseguimos no momento é aumentar o número de mestres formados anualmente, sem redução da qualidade das teses defendidas.

Já o curso de doutorado iniciou em março de 2013, com sete alunos matriculados (após um processo seletivo que contou com 45 inscritos) e conta hoje com 26 alunos matriculados. Em 2016 o curso formou o primeiro doutor em Matemática, com uma tese de qualidade e uma banca de reconhecimento internacional. Tal defesa ocorreu conforme um dos objetivos principais do Programa: formar novos doutores em um fluxo constante, porém sem nunca descuidar da qualidade das teses e da formação Matemática dos discentes.

Em relação ao corpo docente, nos último anos implementamos uma política de aumento do corpo permanente com qualidade, incentivando os novos docentes recém-contratados pelo departamento a participarem da pós-graduação. Tal política provou-se acertada e hoje temos um corpo docente formado por 24 professores permanentes, sendo 09 bolsistas do CNPq. Acreditamos que no momento temos uma excelente mescla entre jovens e experientes pesquisadores , o que proporciona uma ambiente propício a pesquisa.

O ambiente científico instalado no departamento, com colóquios, seminários de pesquisa, professores visitantes,  pós-docs, etc.,  tem gerado frutos. Em particular nota-se a seguinte evolução no número de trabalhos publicados em revistas indexadas de circulação internacional nos últimos anos por docentes permanentes do Programa : 2000 (17), 2001 (11), 2002 (16), 2003 (19), 2004 (16), 2005 (17), 2006 (10), 2007 (22), 2008 (19), 2009 (18), 2010 (21), 2011 (22), 2012 (16), 2013 (19), 2014 (26),  2015 (31) e 2016 (46).  Pretendemos manter a política de apoio a pesquisa, auxiliando e incentivando as atividades de pesquisa (participação e organização de eventos, colaboração com outros pesquisadores, etc.)

 

Perfil do Egresso

Os egressos do curso de Mestrado tem uma sólida formação matemática, tendo obrigatoriamente cursado disciplinas de Álgebra Linear (ou Computacional), Calculo Avançado e Análise Funcional. Desta maneira nossos egressos são aptos a lecionar no ensino superior ou seguir outras carreiras nas quais uma formação Matemática sólida seja fundamental. A maior parte de nossos egressos do Mestrado são aptos a seguir no doutorado e perseguir carreira acadêmica, sendo que alguns chegam a publicar suas teses em periódicos de ótima qualidade. Entre 2013 e 2016 os seguintes trabalhos provenientes de dissertações de Mestrado e tese de Doutorado foram publicados/aceitos:

 

2016 – Tese

  • Jaqueline Luiza Horbach – Tese

Título: EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES E COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO ÓTIMO PARA EQUAÇÕES DISSSIPATIVAS TIPO PLACAS/BOUSSINESQ GENERALIZADAS EM Rn

Resumo: Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e taxas de decaimento para a energia e para a norma L2 da solução de uma equação semilinear do tipo placas/Boussinesq com termo de amortecimento (dissipação) fracionário e sob efeitos, para o caso de placas, de um termo de inércia rotacional generalizado. Mostramos que as taxas de decaimento dependem das potências fracionárias dos operadores e usando uma expansão assintótica da solução do problema linear é provado a otimalidade das taxas obtidas, para certas potências fracionárias.

Palavras chave: Equação tipo Placas/Boussinesq. Laplaciano fracionário. Inércia rotacional generalizada. Dissipação fracionária. Existência e unicidade de solução. Perfil assintótico. Taxa de decaimento ótima.

Banca: Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador – UFSC), Dr. Gustavo Perla Menzala (LNCC/UFRJ), Dr. Ryo Ikehata (University of Hiroshima), Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti (UEM), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Dr. Matheus Cheque Bortolan (UFSC), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (Suplente / UFSC). Data da defesa: 16/12/2016


2016 – Dissertações

Título: C*-Álgebras de Semigrupos Inversos E-unitários

Resumo: Neste trabalho, estudaremos semigrupos inversos e algumas álgebras associadas a estes objetos. Mais precisamente, serão estudados os semigrupos inversos E-unitários. Veremos que todo semigrupo inverso E-unitário S pode ser descrito como um produto semidireto de E, o semirreticulado dos idempotentes de S, por G, o grupo imagem homomorfa máxima de S, via uma ação parcial proveniente de uma ação deste semigrupo sobre E. Em seguida, será definida a C*-álgebra de semigrupos inversos e estudados produtos cruzados parciais. O principal resultado mostra que se S é um semigrupo inverso E-unitário, então C*(S) é canonicamente isomorfa a C0(Ê)?G. Daremos algumas aplicações para este resultado e, em particular, descreveremos a C*-álgebra do semigrupo inverso universal de Exel como um produto cruzado parcial.

Palavras chave: Semigrupo Inverso E-unitário. C*-álgebra. Ação Parcial. Produto Cruzado Parcial.

Banca: Dr. Alcides Buss (Orientador – UFSC), Dr. Dirceu Bagio (UFSM), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Ruy Exel Filho (UFSC), Dr. Mykola Khrypchenko (UFSC). Data da defesa: 09/09/2016

 

Título: ESTUDO ASSINTÓTICO PARA UM MODELO DE EVOLUÇÃO COM OPERADORES FRACIONÁRIOS E COEFICIENTE DEPENDENDO DO TEMPO

Resumo: Neste trabalho estudamos propriedades da solução de uma equação ?-evolução, com o coeficiente do termo de amortecimento estrutural dependendo do tempo, baseado nas ideias de D’Abbicco-Charão-da Luz [5] e D’Abbicco-Ebert [6]. Para encontrar taxas explícitas de decaimento para a solução do problema em questão, dividimos o espaço de Fourier, R_?^n, em duas regiões: alta e baixa frequência. Utilizamos diferentes métodos para cada região, considerando o caso com amortecimento “effective” dado pela condição 2?<?(1+?). Aplicamos o método de diagonalização usado por D’Abbicco-Ebert [6] para obter estimativas para a região de baixa frequência. Na alta frequência utilizamos o método desenvolvido por R. C. Charão, C. R da Luz e R. Ikehata em [3] e [4].

Palavras chave: Operadores de evolução; dissipação dependendo do tempo; amortecimento effective; estimativas de decaimento.

Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP), Dr. Ruy Coimbra Charão (UFSC), Dr. Paulo Mendes de Cravalho Neto (UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC – Suplente). Data da defesa: 26/09/2016

Título: TAXAS DE DECAIMENTO PARA UMA EQUAÇÃO DE PLACAS EM Rn

Resumo: Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy associado a uma equação de placas em Rn. O objectivo principal do trabalho é encontrar taxas de decaimento para a energia total e a norma das soluções. O método utilizado foi baseado no trabalho de Sugitani-Kawashima e consiste em obter estimativas para as soluções fundamentais do problema no espaço de Fourier através do estudo de equivalência dos autovalores.

Palavras chave: Equação de placas, comportamento assintótico e espaço de Fourier

Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Dr. Cleuzir da Luz (UDESC), Dr. Ruy Coimbra Charão(UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (UFSC). Data da defesa: 11/06/2016

Título: MATRIZES QUE QUASE COMUTAM E UM TEOREMA DE HUAXIN LIN

Resumo: A partir da década de 70 tivemos um grande avanço na teoria de C*-álgebras e álgebra de operadores. No artigo (HALMOS, 1976), Paul Halmos perguntou se matrizes auto-adjuntas que quase comutam estavam próximas de matrizes auto-adjuntas que comutam. Durante 20 anos esta pergunta ficou sem resposta. Contudo, variações do problema original surgiram, e muitos trabalhos foram publicados. Huaxin Lin respondeu afirmativamente à pergunta de Paul Halmos em seu artigo (LIN, 1995) e o objetivo deste trabalho é demonstrar esse teorema e, tambem, apresentar uma variação do problema original.

Palavras chave: Teorema de Huaxin Lin. Matrizes que quase comutam.

Banca: Dr. Fernando de Lacerda Mortari (Orientador – UFSC), Dr. Felipe Vieira (UFSC – Blumenau), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Eliezer Batista (UFSC). Data da defesa: 06/05/2016

Título: Categorias monoidais e o Teorema de Mac Lane para a condição estrita

Resumo: O presente trabalho tem como objetivo demonstrar o Teorema de Mac Lane para a condição estrita. Tal teorema afirma que toda categoria monoidal é monoidalmente equivalente a uma categoria monoidal estrita. Além disso, apresentamos categorias abelianas e demonstramos que toda categoria monoidal também é monoidalmente equivalente a uma categoria monoidal esquelética. Utilizamos como referência principal as notas de Una introdución a las categorías tensoriales y sus representaciones do Prof. Dr. Martín Mombelli.

Palavras chave: Categorias, Funtores, Transformações naturais, Monoidal, Estrita, Esquelética

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora UFSC), Dr. Sérgio Tadao Martins (UFSC), Drª. Regina Maria de Aquino (UFES), Drª. Luz Adriana Mejia Castaño (UFSC), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC). Data da defesa: 08/03/2016

Título: HOPF ALGEBRÓIDES

Resumo: O objetivo principal deste trabalho é definir e exemplificar Hopfalgebróides, que são uma das generalizações de álgebras de Hopf, sobre uma álgebra base não comutativa, isto é, que são construídos a partir de bimódulos sobre um anel R, não necessariamente comutativo. Para tanto, definimos e exemplificamos também bialgebróides, que constituem a melhor generalização do conceito de biálgebra. Exploramos diversas noções equivalentes a de bialgebróide, como as X_R-biálgebras de Takeuchi. No decorrer do trabalho, apresentamos alguns resultados da teoria de biálgebras e de álgebras de Hopf que são estendidos para o âmbito de bialgebróides e de Hopfalgebróides. Como um exemplo importante de resultado, podemos citar o fato de a categoria de módulos sobre um bialgebróideB ser monoidal, tal que funtor esquecimento é estritamente monoidal e um análogo para o caso de comódulos sobre bialgebróides. No final do trabalho apresentamos a noção de X_R-Hopf álgebra, proposta por P. Schauenburg, que é uma noção mais geral do que Hopfalgebróides.

Palavras chave: Algébras de Hopf; Ações e co-ações de Hopf

Banca: Dr. Eliezer Batista (Orientador – UFSC), Dr. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR), Dr. Alda Dayana Mattos Mortari (UFSC), Dr. Felipe Lopes Castro (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC). Data da defesa: 26/02/2016

Título: Teorema de Unicidade das Álgebras de Leavitt via Produtos Cruzados Parciais

Resumo: Neste trabalho estudamos inicialmente ações parciais de grupo sobre um conjunto qualquer e estendemos este conceito, de um modo geral, para ações parciais de grupo sobre uma álgebra. Após isso, usufruímos dos resultados obtidos para construir um exemplo de uma ação parcial do grupo livre gerado pelas arestas de um grafo. A esta ação parcial, determinamos o produto cruzado parcial associado. Definimos a Álgebra de caminhos de Leavitt associada ao grafo e obtemos um isomorfismo entre a Álgebra de Leavitt e o produto cruzado parcial elaborado. Por último, demonstramos o Teorema de Unicidade de Cuntz-Krieger para a Álgebra de Leavitt e conseguimos obter, através dos sistemas de ramificação E-algébricos, a recíproca do teorema.

Palavras chave: Ação Parcial. Produto Cruzado Parcial. Álgebra de caminhos de Leavitt. Teorema de Unicidade de Cuntz-Krieger.

Banca: Dr. Danilo Royer (Orientador – UFSC), Dr. Dirceu Bagio (UFSM), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC). Data da defesa: 25/02/2016.


2015 – Dissertações

 

Título: PRODUTOS CRUZADOS PARCIAIS ALGÉBRICOS E APLICAÇÕES À ÁLGEBRA DE LEAVITT

Resumo: Dado um grafo dirigido E podemos construir um produto cruzado parcial associado a ele por meio de uma ação parcial do grupo livre gerado pelas arestas de E ou por meio de uma ação parcial do grupoide gerado pelas arestas de E. Em ambos os casos, temos um isomorfismo entre a álgebra de Leavitt de E e os produtos cruzados parciais mencionados. Neste trabalho mostramos a construção desses dois produtos cruzados parciais e seus respectivos isomorfismos com L_K(E). Além disso, estudamos condições suficientes para que dados dois grafos dirigidos E_1 e E_2, considerando seus grupoides G_1 e G_2, tenhamos um isomorfismo entre suas álgebras de Leavitt. Por fim, estudamos condições para que dado um isomorfismo entre as álgebras de Leavitt tenhamos uma relação mais forte entre os grupoides.

Palavras chave: Leavitt algebras; Ações parciais de grupoides.

Banca: Dr. Daniel Gonçalves (Orientador – UFSC), Dr. Dirceu Bagio (UFSM), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Alcides Buss (UFSC). Data da defesa: 06/05/2015

 

Título: ORBIFOLDS – VIA CARTAS E COMO GRUPOIDES

Resumo: Orbifolds podem ser vistos como generalizações de variedades. Podemos defini-los por cartas e atlas, quocientes de variedades por ações de grupos ou grupoides de Lie. Nosso objetivo neste trabalho é caracterizá-los por estas maneiras distintas e ver as relações existentes entre cada definição.

Palavras chave: Orbifolds. Variedades. Atlas. Quocientes. Grupoides.

Banca: Dr. Martin Weilandt (UFSC), Dr. Cristian Andres Ortiz Gonzales (USP), Dr. Eliezer Batista (UFSC), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC), Dr. Ivan Pontual Costa e Silva (UFSC). Data da defesa: 10/08/2015

Título: C*-Álgebra de Cuntz-Krieger e produto cruzado parcial.

Resumo: Inicialmente estudamos a teoria da construção da C*-álgebra Universal, e um exemplo importante de C*-álgebra Universal, que é a C*-álgebra de Cuntz-Krieger. Também estudamos a construção do produto cruzado parcial, obtido a partir de uma ação parcial de um grupo discreto em uma C*-álgebra. Por último demonstramos que a C*-álgebra de Cuntz-Krieger é isomorfa a um produto cruzado parcial, obtido a partir de uma ação parcial do grupo livre no espaço das funções contínuas sobre o conjunto dos caminhos infinitos obtidos a partir da matriz que define e C*-álgebra de Cuntz-Krieger.

Palavras chave: C*-álgebra universal; produto cruzado parcial; C*-álgebra de Cuntz-Krieger

Banca: Dr. Danilo Royer (Orientador – UFSC), Dr. Alexandre Tavares Baraviera (UFRGS), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Alcides Buss (Suplente – UFSC). Data da defesa: 20/02/2015

Título: MÉTODOS DE MÁXIMO DECLIVE PARA MINIMIZAÇÃO QUADRÁTICA

Resumo: Neste trabalho apresentamos uma descrição detalhada do método de máximo declive para problemas quadráticos com busca unidirecional exata (método de Cauchy). Esse método é globalmente convergente, porém é ineficiente, pois é lento e apresenta um comportamento oscilatório, convergindo para uma busca no espaço gerado pelos autovetores associados ao maior e ao menor autovalor da matriz do problema quadrático. Analisamos o comportamento oscilatório do gradiente da função objetivo no caso quadrático, bem como da sequência de passos gerados pelo método de Cauchy. Apresentamos o método de Barzilai-Borwein que, experimentalmente, exibe um desempenho melhor do que o método de Cauchy, e, também, algumas variantes do método de Barzilai-Borwein. Analisamos o comportamento do gradiente causado pela escolha de outros tamanhos de passos no método de máximo declive, o que nos permitiu propor uma nova escolha para o tamanho de passo. Com isso, propomos alguns novos algoritmos (CS, ACS e outros) que alternam o tamanho de passo entre passos de Cauchy e passos curtos. Adotamos, ainda, uma nova proposta que utiliza passos de tamanhos dados por raízes de um polinômio de Chebyshev de ordem adequada. Experimentalmente, os novos métodos apresentam um bom desempenho, superando inclusive o método de Barzilai-Borwein. Além do bom desempenho, os novos métodos têm a vantagem de gerar sequências monotonicamente decrescentes de valores da função objetivo.

Palavras chave: Métodos de máximo declive; Minimização quadrática; Método de Cauchy.

Banca: Dr. Clóvis Caesar Gonzaga (Orientador – UFSC), Drª. Elizabeth Wegner Karas (UFPR), Drª. Melissa Weber Mendonça (UFSC), Dr. Juliano de Bem Francisco (UFSC), Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC). Data da defesa: 11/05/2015

Título: TAXAS DE CONVERGÊNCIA PARA MÉTODOS ITERATIVOS CÍCLICOS EM PROBLEMAS MAL POSTOS

Resumo: Na classe dos métodos de regularização iterativos, os métodos tipo Kaczmarz são uns dos métodos mais utilizados para resolver problemas na matemática aplicada. No entanto, na literatura a quantidade de resultados sobre convergência e as respectivas taxas de convergência não é abundante. Este trabalho trata da análise de convergência de algumas versões do método de Landweber-Kaczmarz, obtendo convergência e estabilidade do método modificado com um parâmetro de relaxamento, e taxas de convergência no método para operadores lineares em bloco nas versões simétrica e não simétrica. Finalmente, compara-se mediante experimentos numéricos o desempenho dos métodos estudados com o desempenho de métodos bem estabelecidos.

Palavras chave: Problemas inversos; Problemas mal postos; Taxas de convergências

Banca: Dr. Marcelo Sobottka (UFSC), Dr. Adriano De Cezaro (UFRG), Dr. Raphael Falcão da Hora (UFSC), Dr. Wagner Muniz (UFSC). Data da defesa: 28/04/2015,

Título: MÉTODOS DE MAZ’IA E LANDWEBER PARA O PROBLEMA DE CAUCHY ELÍPTICO

Resumo: Nesta dissertação foi trabalhado o clássico exemplo de problema mal posto, o problema de Cauchy elíptico para o operador de Laplace sobre um subconjunto limitado do plano suficientemente regular, onde os dados de Cauchy são fornecidos apenas sobre uma parte da fronteira. O objetivo é o de reconstruir o traço da solução fraca da equação de Laplace sobre a parte restante da fronteira. Para tal finalidade, foi analisado dois métodos iterativos; o método de Maz’ia que consiste em resolver sucessivamente problemas de valor de contorno misto (que são bem postos) utilizando os dados de Cauchy como parte das condições de fronteira e o método de Landweber, baseado na equação normal da condição de otimalidade de primeira ordem para resolver o problema de mínimos quadrados. Através de uma abordagem via análise funcional com uma topologia não usual foi demonstrado a análise de convergência para o método de Maz’ia sob dados exatos; por outro lado, para demonstrar que o método de Landweber é um método de regularização e obter taxa de convergência, a teoria de regularização clássica. Ao final, uma relação entre os métodos foi encontrada, a igualdade entre as iterações, possibilitando, assim, concluir a análise do método de Maz’ia, isto é, sob dados com ruídos. Palavras-chave: Problemas inversos, problemas mal postos, problema de Cauchy elíptico, métodos iterativos de regularização, método de Maz’ia, método de Landweber.

Palavras chave: C*-álgebra universal; produto cruzado parcial; C*-álgebra de Cuntz-Krieger

Banca: Dr. Antonio Carlos Gardel Leitão (Orientador – UFSC), Dr. Alexandre Kawano (USP), Dr. Wagner Muniz (UFSC), Dr. Raphael Falcão da Hora (UFSC), Dr. Marcelo Sobottka (UFSC). Data da defesa: 27/02/2015

Título: ÁLGEBRAS DE HOPF ASSOCIADAS A GRAFOS DO TIPO ÁRVORE

Resumo: O presente trabalho tem como objetivo explorar algumas álgebras de Hopf construídas a partir de grafos do tipo árvore (com raiz). Estudam-se as álgebras de Connes-Kreimer e a de Grossman-Larson, e busca-se uma relação entre essas duas álgebras de Hopf. A relação encontrada é a dualidade separante. Também explora-se uma versão para árvores ordenadas das álgebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson. Prova-se a dualidade dessas duas álgebras seguindo a ideia do caso anterior, mas não se consegue obter que a dualidade é separante. Um contraexemplo para isso é mostrado. Os capítulos iniciais apresentam a teoria básica de álgebras de Hopf e de Lie necessária para a leitura deste trabalho. Alguns resultados sobre biálgebras conexas com filtração e com graduação são vistos no capítulo 4, incluindo a demonstração do teorema de Milnor-Moore. O capítulo 5 apresenta as árvores (não-ordenadas e ordenadas) e as álgebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson obtidas a partir das mesmas. Termina-se apresentando o teorema de Panaite e a dualidade entre essas duas álgebras de Hopf.

Palavras chave: C*-álgebra universal; produto cruzado parcial; C*-álgebra de Cuntz-Krieger

Banca: Dr. Eliezer Batista (Orientador – UFSC), Dr. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR), Dr. Alda Dayana Mattos Mortari (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Giuliano Boava (suplente – UFSC). Data da defesa: 04/03/2015

Título: EQUIVARIANTIZAÇÃO DE CATEGORIAS K-LINEARES

Resumo: A teoria de categorias é apresentada pela primeira vez em 1945, no trabalho entitulado General Theory of Natural Equivalences. Na publicação de 1950, entitulada Duality for Groups, MacLane introduz por meio axiomático a noção de categoria abeliana. O objetivo desse trabalho é estudar algumas construções feitas em categorias k-lineares (que são abelianas). Passamos por todas as definições e resultados necessários na teoria de categorias para podermos definir ação de um grupo finito G em uma categoria k-linear e, em seguida, definir a equivariantização de uma categoria k-linear. Como principal resultado, mostramos que a equivariantização de uma categoria k-linear é, também, k-linear. Para esse estudo, utilizamos como referência principal, as notas de aula Una introdución a las categorías tensoriales y sus representaciones do prof. Dr. Martín Mombelli.

Palavras chave: Categorias; Abelianas, K-lineares; Funtores; Álgebras de Hopf

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora – UFSC), Dr. Vitor de Oliveira Ferreira (IME-USP), Dr. Juan Martín Mombelli (Universidad Nacional de Córdoba), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC), Dr. Licio Hernanes Bezerra (Suplente – UFSC). Data da defesa: 27/02/2015


2014 – Dissertações

 

Título: OS GRUPOS K_0 TOPOLÓGICO, ALGÉBRICO E EM ÁLGEBRA DE OPERADORES

Resumo: Neste trabalho estudamos as $K$-teorias algébrica, topológica e de $C^*$-álgebras. Mostramos que se $A$ é uma $C^*$-álgebra unital, então $K_0(A)$ é o mesmo (a menos de isomorfismo) na $K$-teoria álgebricaa e na $K$-teoria de $C^*$-álgebras. Além disso, considerando $X$ um espaço topológico compacto Hausdorff, provamos o Teorema de Serre-Swan, isto é, que existe uma equivalência categórica entre a categoria dos $C(X)$-módulos projetivos finitamente gerados e a categoria dos fibrados vetoriais sobre $X$.

Palavras chave: C*-álgebras, fibrados de Fell, ações parciais,produtos Smash

Banca: Dr. Giuliano Boava (UFSC), Drª. Cristina Cerri (USP), Dr. Fernando de Lacerda Mortari (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro), Dr. Eliezer Batista (Suplente – UFSC). Data da defesa: 11/04/2017

Título: ÁLGEBRAS DE TOEPLITZ GENERALIZADAS

Resumo: Um grupo quase-reticulado é um tipo especial de grupo parcialmente ordenado. Podemos associar C*-álgebras a grupos quase-reticulados e definir amenabilidade de forma natural. Nosso objetivo neste trabalho é provar um resultado devido a Laca e Raeburn que dá uma caracterização simples para as representações fieis da C*-álgebra de um grupo quase-reticulado amenable. Apresentaremos também uma aplicação desse teorema.

Palavras chave: C*-álgebra; Isometria; Semigrupo; Grupo quase-reticulado.

Banca: Dr. Ruy Exel Filho (UFSC), Dr. Paolo Piccione (USP), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Alcides Buss (UFSC)                     Dr. Bernhard Burgstaller (Suplente – UFSC). Data da defesa: 21/02/2014

Título: MÉTODOS DE QUADRADOS MÍNIMOS TOTAIS REGULARIZADOS

Resumo: Neste trabalho estudamos métodos de regularizaçãao para o problema de Quadrados Mínimos Totais (RTLS) baseado em técnicas da Linear Numérica e teoria de regularização. O foco principal do trabalho é o estudo da regularização de Tikhonov para o método de Quadrados Mínimos Totais (TLS) e de uma técnica de truncamento que atua como regularizador. No primeiro caso, abordamos um método desenvolvido por Renaut e Guo baseado na resoluçãao de um sistema não linear através de um problema de autovalores lineares e sobre o tamanho da solução. Resultados numéricos mostram que este método pode não funcionar em alguns problemas. Então, estudamos o método TLS truncado (T-TLS) e introduzimos um critério de escolha do parâmetro de truncamento baseado no trabalho de Bazán, Cunha e Borges que não requer informação prévia sobre a solução. Ambos os métodos são ilustrados numericamente e comparados com respeito à qualidade das soluções. Os resultados numéricos mostram que o método de truncamento é uma boa alternativa para resolver o problema RTLS.

Palavras chave: Regularização; Problemas com operador perturbado

Banca: Dr. Fermín Sinforiano Viloche Bazán (UFSC), Dr. Marcelo Victor Wüst Zibetti (UTFPR), Dr. Juliano de Bem Francisco (UFSC), Drª. Melissa Weber Mendonça (UFSC), Dr. Luciano Bedin (Suplente – UFSC). Data da defesa: 26/02/2014

Título: UMA CLASSIFICAÇÃO DE FIBRADOS DE FELL ESTÁVEIS

Resumo: Dada uma C*-álgebra graduada B por um grupo discreto G, definimos a C*-álgebra produto Smash de B, denotada por B#C*(G). Usamos a C*-álgebra produto Smash para mostrar que, dado qualquer fibrado de Fell estável sobre um grupo enumerável tal que a álgebra da fibra unidade é separável, existe uma ação parcial do grupo base na sua álgebra da fibra unidade cujo fibrado de Fell associado é isomorfo ao fibrado inicial.

Palavras chave: C*-álgebras, fibrados de Fell, ações parciais,produtos Smash

Banca: Dr. Ruy Exel Filho (UFSC), Dr. Michael Dokuchaev (USP), Dr. Alcides Buss (UFSC), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Giuliano Boava (Suplente – UFSC). Data da defesa: 25/02/2014

Título: Métodos de regularização iterativa para problemas discretos mal postos de grande porte

Resumo: Neste trabalho apresentamos os métodos de regularização iterativa da família SIRT, ART, ART por blocos e o método LSQR para problemas discretos mal-postos de grande porte. Esses métodos são baseados na observação que boa parte das informações relevantes da solução são capturadas nas primeiras iterações, e que à medida que as iteradas prosseguem a qualidade das aproximações é deteriorada pela influência do ruído nos dados. Essa propriedade é conhecida como semiconvergência. Portanto, a idéia dos métodos de regularização iterativa é calcular as iteradas até um certo ponto em que a qualidade das iteradas começa a incorporar o ruído nos dados. Para contornar esta dificuldade, a semiconvergência dos métodos da família SIRT é analisada e, baseados em estimativas do erro nos dados, são introduzidos dois critérios de parada chamados de Princípio de Discrepância e a Regra de Erro Monótono. Além disso, para o caso em que nenhuma estimativa do ruído é disponível, são introduzidos o critério NCP (Normalized Cumulative Peridogram) e a regra do produto mínimo, introduzido recentemente na literatura. Os métodos são aplicados a problemas testes da literatura bem como a problemas de reconstrução de imagens.

Palavras chave: Problemas discretos mal postos. Regulariação iterativa.

Banca: Dr. Fermin Sinforiano Viloche Bazãn (ORIENTADOR UFSC), Dr. Licio Hernandes Bezerra (UFSC), Dr. Luciano Bedin (UFSC), Dr. Saulo Pomponet Oliveir (UFPR). Data da defesa: 14/02/2014


2013 – Dissertações

 

Título: SOBRE SISTEMAS E ESPAÇOS DE OPERADORES

Resumo: Um sistema de operadores, em uma C*-álgebra, é um subespaço vetorial contendo a unidade da álgebra e é fechado por adjunção. Uma aplicação positiva entre sistemas de operadores leva elementos positivos em elementos positivos. Tal aplicação será dita completamente positiva se para qualquer matriz positiva, de qualquer ordem, tem-se que a matriz imagem, segundo a aplicação, for positiva. Um dos propósitos dessa dissertação será considerar uma aplicação completamente positiva, cujo contradomínio é a C*-álgebra dos operadores limitados definidos em espaço de Hilbert, e estendê-la para uma aplicação completamente positiva de mesma norma, o Teorema de Hahn-Banach não comutativo. Queremos, por fim, definir espaços *-vetoriais e enxergá-los com sistemas de operadores em uma determinada C*-álgebra. Tal resultado, atribuído aos matemáticos Choi e Effros, é o análogo da construção GNS, através da qual é possível tratar elementos de uma C*-álgebra como operadores limitados.

Palavras chave: C*-álgebras; Sistemas de operadores; Teorema de Hahn Banach

Banca: Dr. Fernando de Lacerda Mortari (UFSC), Drª. Elisa Regina dos Santos (UFU), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Daniel Gonçalves (Suplente – UFSC). Data da defesa: 11/11/2013

Título: Álgebras de Hopf fracas: teremas de dualidade e de Maschke.

Resumo: O conceito de álgebra de Hopf fraca surge como uma generalização de álgebra de Hopf no sentido clássico. Nosso objetivo nesse trabalho é apresentar uma versão fraca do teorema de Maschke que caracteriza álgebras de Hopf fracas semissimples em termos de separabilidade e integrais normalizadas. Além disso, definimos a noção de ação de uma álgebra de Hopf fraca em uma álgebra e apresentamos um produto smash nesse contexto. Finalmente, mostramos uma generalização do teorema de dualidade de Blattner-Montgomery, isto é, se uma álgebra de Hopf fraca agir em uma álgebra então existe um isomorfismo entre as álgebras.

Palavras chave: Álgebras de Hopf fracas, Grupoides quânticos finitos, Teorem

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientador UFSC), Dr. Antonio Paques (UFRGS), Drª. Daiana Aparecida da Silva Flôres (UFSM), Dr. Iván Ezequiel Angiono (Universidad de Córdoba). Data da defesa: 19/02/2013

Título: Sobre produtos cruzados e equivalência de Morita

Resumo: Nesse trabalho estudamos a teoria de equivalência de Morita-Rieffel para álgebra de operadores por uma perspectiva geral e a aplicamos para entender produtos cruzados para ações de grupos compactos em C*-álgebras. Dentre outros tópicos, apresentamos quatro formas diferentes para especificar um contexto de equivalência de Morita entre C*-álgebras e definimos a C*-álgebra produto cruzado, o que nos possibilitou estudar (uma versão simplificada do) Teorema Simétrico de Imprimitividade.

Palavras chave: Produtos cruzados; sistemas dinâmicos; Morita, imprimitivida

Banca: Dr. Ruy Exel Filho (UFSC), Dr. Vladimir Pestov (University of Ottawa), Dr. Daniel Gonçalves (UFSC), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Giuliano Boava (Suplente – UFSC). Data da defesa: 18/02/2013

Título: Método de elementos finitos mistos para problemas elípticos e parabólicos degenerados.

Resumo: Este trabalho apresenta resultados teóricos e práticos sobre o método de elementos finitos mistos para problemas elípticos e parabólicos degenerados. Inicialmente apresentamos a formulação mista para problemas elípticos de segunda ordem. Feito isso, provamos resultados sobre convergência das duas variáveis, primeiramente na variável vetorial e depois na variável escalar. Na segunda parte do trabalho tratamos de problemas parabólicos degenerados. Para isso, após fazer a discretização do problema, aplicamos o método de Newton para tratar da não linearidade. Em seguida, passamos a estudar um estimador de erro para o problema elíptico tratado na primeira parte do trabalho e o utilizamos para fazer refinamento de malha adaptativo. Por último, apresentamos alguns detalhes sobre as implementações feitas. Durante o trabalho são apresentados exemplos numéricos para validação dos códigos e comparação com os resultados teóricos.

Palavras chave: Método de elementos finitos; Problemas elípticos;

Banca: Dr. Igor Mozolevski (Orientador – UFSC), Drª. Luciane Inês Assmann Schuh (Campus Joinville – UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Dr. Licio Hernanes Bezerra (UFSC), Drª. Viviane Lein (Suplente – UFSC). Data da defesa: 28/02/2013

Título: Método da energia no espaço de Fourier para equações de evolução em Rn com dissipação fracionária

Resumo: Neste trabalho estudamos o problema de Cauchy em R^n para três equações com dissipação fracionária, a saber: equação da onda, sistema de ondas elásticas e equação de placas. Provamos existência e unicidade de soluções através da teoria de semigrupos. Utilizando o método da energia no espaço de Fourier com adequados multiplicadores, encontramos taxas explícitas de decaimento para a energia e para a solução de cada um dos problemas. Para o estudo do comportamento assintótico de soluções utilizamos ideias de Ryo Ikehata and Masato Natsume.

Palavras chave: Método da Energia; Espaço de Fourier; Dissipação Fracion

Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala (LNCC), Dr. Luciano Bedin (UFSC), Dr. Jardel Morais Pereira (UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (Suplente – UFSC). Data da defesa: 22/02/2013

Título: Cohomologia associada a ladrilhamentos de substituição.

Resumo: Neste trabalho serão descritas propriedades de ladrilhamentos nas mais diversas áreas da matemática como topologia, sistemas dinâmicos e topologia algébrica. Veremos um método para construir ladrilhamentos que não admitem simetrias de translação, isto é, não são periódicos. Tais ladrilhamentos são chamados de ladrihamentos de substituição e iremos construir um complexo celular associado e determinar sua cohomologia. O estudo será aplicado a alguns exemplos.

Palavras chave: Álgebras de Operadores, Sistemas Dinâmicos, Ladrilhamentos

Banca: Dr. Daniel Gonçalves (Orientador/UFSC), Dr. Samir Ahmad Mussa (INEP/EEL/UFSC), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Marcelo Sobottka (UFSC), Dr. Charles Starling (Suplente – UFSC). Data da defesa: 22/02/2013

Título: Cálculo Proximal em Otimização Convexa.

Resumo: O operador proximal, introduzido por Moreau em 1962, é uma ferramenta importante na análise e solução numérica de problemas de otimização convexa. Neste trabalho, apresentamos a teoria baseada na noção de operadores proximais, utilizada para estudar o problema de minimizar a soma de duas funções convexas com certas propriedades de regularidade, em espaços de Hilbert. Analisamos a convergência de um algoritmo forward-backward e uma aplicação em problemas de recuperação de sinais.

Palavras chave: Espaços de Hilbert, otimização convexa, operador proximal.

Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador – UFSC), Dr. Jefferson D. G. de Melo (UFG), Dr. Antonio Carlos Gardel Leitão (UFSC), Drª. Melissa Weber Mendonça (UFSC), Dr. Danilo Royer (Suplente – UFSC). Data da defesa: 20/02/2013

Título: Coações de grupos e fibrados de Fell

Resumo: Um fibrado de Fell sobre um grupo discreto G é uma família B de espaços de Banach indexada por G e munida com operações de multiplicação e involução compatíveis com a estrutura do grupo G. Neste trabalho, entre outros resultados, apresentaremos uma equivalência entre a categoria dos fibrados de Fell sobre G e a categoria das coações contínuas e injetivas do grupo quântico compacto reduzido do grupo (obtido da C*-álgebra reduzida do grupo) em C*-álgebras. No caso em que o grupo é abeliano, mostraremos que a categoria dos fibrados sobre G é equivalente à categoria das ações fortemente contínuas do dual de Pontryagin de G em C*-álgebras.

Palavras chave: Fibrado de Fell; Grupo quântico compacto; Coação; C*-álgebra

Banca: Dr. Maicon Marques Alves (UFSC), Dr. Henrique Bursztyn (IMPA), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Ruy Exel Filho (UFSC), Dr. Danilo Royer (Suplente – UFSC). Data da defesa: 15/02/2013  Dr. Alcides Buss (ORIENTADOR UFSC)

Título: Cálculo subdiferencial com e-subdiferencial e limites.

Resumo: Neste trabalho, estudamos regras de cálculo subdiferencial para soma de funções convexas, convolução infimal, pré-composição e função marginal. Enunciamos uma série de propriedades e resultados associados a estas operações, dentre os quais merecem destaque a fórmula de dualidade de Fenchel-Rockafellar e o princípio variacional de Ekeland, cuja demonstração fizemos questão de apresentar. Tudo isto é feito com o propósito de alcançar o principal objetivo: obter regras de cálculo subdiferencial. Algumas das fórmulas estabelecidas aqui são simples e dependentes de condições de qualificação, as demais são de caráter bem geral e contemplam o conceito de e-subdiferencial. Cálculo subdiferencial via limites também faz parte do trabalho e permite algumas aplicações como o teorema do valor médio para subdiferenciais e o teorema de integração de Rockafellar.

Palavras chave: Análise convexa; subdiferencial; cálculo subdiferencial

Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador/UFSC), Dr. Alfredo Noel Iusem (IMPA), Dr. Danilo Royer (UFSC), Dr. Ruy Coimbra Charão (UFSC), Drª. Melissa Weber Mendonça (Suplente – UFSC). Data da defesa: 21/02/2013

Título: Álgebras de Hopf trançadas.

Resumo: Álgebras de Nichols são importantes ferramentas para a classificação de álgebras de Hopf pontuadas, isso é bem retratado no trabalho Pointed Hopf Álgebras de Andruskiewitsch-Shneider. Uma álgebra de Nichols é, em suma, uma álgebra de Hopf trançada. A noção de álgebras de Hopf trançadas foi introduzida por Majid por volta de 1990. Desde então, tem sido estudada por muitos autores. Seja H uma álgebra de Hopf com antípoda bijetiva sobre um corpo k. Nossos principais objetivos nesse trabalho são estudar álgebras de Hopf trançadas na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld sobre H e mostrar a existência e unicidade da álgebra de Nichols de um módulo de Yetter-Drinfeld sobre H.

Palavras chave: álgebras, coálgebras, módulos de Yetter-Drinfeld

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientador/UFSC), Dr. Dirceu Bagio (UFSM), Dr. Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Dr. Ruy Exel Filho (UFSC). Data de defesa: 18/02/2013


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