Dissertações Defendidas
Perfil do Egresso
Os egressos do curso de Mestrado tem uma sólida formação matemática, tendo obrigatoriamente cursado disciplinas de Álgebra Linear (ou Computacional), Calculo Avançado e Análise Funcional. Desta maneira nossos egressos são aptos a lecionar no ensino superior ou seguir outras carreiras nas quais uma formação Matemática sólida seja fundamental. A maior parte de nossos egressos do Mestrado são aptos a seguir no doutorado e perseguir carreira acadêmica, sendo que alguns chegam a publicar suas dissertações em periódicos de ótima qualidade.
2023
- 262. Eduardo Hafemann – Dissertação
Título: Geometry and Topology of Black Hole Horizons
A principal motivação deste trabalho se origina com o famoso e fundamental teorema de Hawking sobre a topologia dos buracos negros. O teorema afirma que em um espaço-tempo assintoticamente plano e estacionário de dimensão 4 contendo um buraco negro, e satisfazendo a condição de energia dominante, as seções transversais espaciais do horizonte de eventos são topologicamente esferas de dimensão 2. Neste trabalho, exploramos uma generalização natural do teorema de Hawking para dimensões superiores, obtido por Galloway e Schoen, contendo condições excepcionais, bem como versões posteriores desse resultado, que efetivamente excluem essas condições excepcionais e recuperam o resultado de Hawking em dimensão 4. Em certas dimensões superiores, somos capazes de mostrar que os horizontes de eventos, no caso estacionário, e as outermost marginally outer trapped surfaces (MOTSs), no caso geral, admitem uma métrica de curvatura escalar positiva. Essa condição impõe várias restrições conhecidas sobre a topologia e é consistente com exemplos da literatura de espaços-tempos de buraco negro estacionários de cinco dimensões com topologia de horizonte S2 × S1. A prova desses resultados requer técnicas de geometria diferencial, análise e se tem inspiração na teoria de superfícies mínimas. Portanto, este trabalho tem como objetivo examinar de perto as complexidades do problema e servir como uma introdução amigável ao tópico para leitores que possam não estar familiarizados com técnicas vindas da geometria semi-Riemanniana, relatividade geral e análise geométrica.
Palavras-chave: Superfícies marginalmente aprisionadas exteriormente. Topologia de buracos negros. Curvatura escalar positiva.
Banca: Ivan Pontual Costa e Silva (Orientador – UFSC), Abraão Mendes do Rêgo Gouveia (UFAL), Vincent Grandjean (UFSC)
- 261. Luciano Bento da Silva Junior – Dissertação
Título: A Integral Fracionária de Riemann-Liouville sobre os espaços lp
O estudo do cálculo fracionário cresceu muito nas últimas seis décadas, e cada vez mais está se relacionando com diversas áreas da matemática. Desta forma, ficamos motivados a entender a relação que havia entre o cálculo fracionário e a teoria de semigrupos. É por isso que no primeiro momento introduzimos as funções Gama, função Beta e a função Digamma, as quais, juntamente com suas propriedades, serão fundamentais para a obtenção dos principais resultados discutidos neste texto. Logo em seguida fazemos um breve curso de teoria da medida com o intuito de apresentar três grandes teoremas: o Teorema da Convergência Monótona de Lesbegue, o Teorema da Convergência dominada de Lesbegue e o Teorema da Convergência Dominada Generalizada de Lesbegue. Estes teoremas serão essenciais para nossos objetivos. Depois introduzimos o conceito de Espaços $L^p$, e em seguida mostramos que este espaço é Banach. Além disso, apresentamos uma breve teoria de integração, donde a sua finalidade são os teoremas de Tonelli-Fubinni e a desigualdade integral de Minkowski. Finalmente, apresentamos a teoria dos semigrupos juntamente com a teoria do cálculo fracionário. Para estabelecer a relação entre esses dois temas, mostraremos que a integral fracionária de Riemann-Liouville é um semigrupo fortemente contínuo, e, como resultado, estamos empenhados em exibir qual \'{e} o seu gerador infinitesimal.
Palavras-chave: Semigrupos, cálculo fracionário, integral fracionária de Riemann-Liouville, Gerador infinitesimal.
Banca: Paulo Mendes de Carvalho Neto (Orientador – UFSC), Renato Fehlberg Júnior (UFES), Ronaldo César Duarte (UFRN), Camila Aparecida Benedito Rodrigues de Lima (UFSC) e Rômulo Maia Vermersch (UFSC)
- 260. Rafael Borges de Souza – Dissertação
Título: Representações de C*-álgebras de grafos relativas
Estudamos C*-álgebras de grafos e descrevemos sua equivalência com as C*-álgebras de grafos relativas usando grafos estendidos. Descrevemos a dinâmica de aplicações de Markov com conjuntos de escape não-vazios e estudamos representações de C*-álgebras de grafos relativas em espaços de Hilbert que surgem de tais funções. Encontramos condições suficientes para que tais representações sejam fiéis em termos das transições dos intervalos de Markov para os intervalos de escape. Além disso, investigamos como sistemas ramificados e sistemas ramificados relativos em espaços de medida dão origem a representações de C*-álgebras de grafos e C*-álgebras de grafos relativas no espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis. Mostramos como as aplicações de Markov dão origem a sistemas ramificados relativos. Também mostramos uma equivalência entre as representações provenientes das aplicações de Markov e as representações provenientes de sistemas ramificados relativos e como a fidelidade de tais representações pode ser obtida.
Palavras-chave: C*-álgebras de grafos. Aplicações de Markov. Representações. Sistemas ramificados.
Banca: Daniel Gonçalves (Orientador – UFSC), Danilo Royer (UFSC), Luiz Gustavo Cordeiro (UFSC) e Paulo Pinto (Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa)
- 259. Bruna Arielly Schulz – Dissertação
Título: Caracterização de álgebras de caminhos de Leavitt fortemente Z-graduadas e épsilon-fortemente Z-graduadas
Este trabalho contempla resultados acerca das caracterizações das álgebras de caminhos de Leavitt fortemente Z-graduadas e épsilon-fortemente Z-graduadas. Isto é, busca-se determinar a estrutura de cada álgebra de caminhos de Leavitt analisando o grafo E que gera a álgebra. De forma mais específica, dados E um grafo dirigido, K um corpo e considerando a álgebra de caminhos de Leavitt L_K(E) com sua Z-graduação canônica, tem-se como um dos objetivos mostrar que L_K(E) ser fortemente Z-graduada é equivalente a E ser linha finita, não possuir poço e satisfazer a Condição (Y), que por sua vez, é equivalente a E ser linha finita, não possuir poço e satisfazer a Condição (Y1). Ainda, mostraremos que L_K(E) é épsilon-fortemente Z-graduada se, e somente se, E é finito.
Palavras-chave: Álgebras de caminhos de Leavitt, Z-graduação forte, épsilon Z-graduação forte.
Banca: Danilo Royer (Orientador – UFSC), Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Dirceu Bagio (UFSC)
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