Teses Defendidas

2016

Primeira defesa de Tese do Programa de Pós-graduação em Matemática Pura e Aplicada: 

1.  Jaqueline Luiza Horbach – Tese

Título: EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES E COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO ÓTIMO PARA EQUAÇÕES DISSSIPATIVAS TIPO PLACAS/BOUSSINESQ GENERALIZADAS EM Rn

Resumo: Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e taxas de decaimento para a energia e para a norma L2 da solução de uma equação semilinear do tipo placas/Boussinesq com termo de amortecimento (dissipação) fracionário e sob efeitos, para o caso de placas, de um termo de inércia rotacional generalizado. Mostramos que as taxas de decaimento dependem das potências fracionárias dos operadores e usando uma expansão assintótica da solução do problema linear é provado a otimalidade das taxas obtidas, para certas potências fracionárias.

Palavras chave: Equação tipo Placas/Boussinesq. Laplaciano fracionário. Inércia rotacional generalizada. Dissipação fracionária. Existência e unicidade de solução. Perfil assintótico. Taxa de decaimento ótima.

Banca: Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador – UFSC), Dr. Gustavo Perla Menzala (LNCC/UFRJ), Dr. Ryo Ikehata (University of Hiroshima), Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti (UEM), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Dr. Matheus Cheque Bortolan (UFSC), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (Suplente / UFSC). Data da defesa: 16/12/2016



2017

2. Sara Regina da Rosa Pinter – Tese

Título: SOBRE EQUIVARIANTIZAÇÕES DE CATEGORIAS MÓDULO E SEUS OBJETOS SIMPLES

Resumo: Sejam G um grupo finito que age em uma categoria de fusão C, H um subgrupo de G e M uma categoria módulo sobre C. Se M é um C-módulo H-equivariante, existe a equivariantização MH. O presente trabalho caracteriza os objetos simples em MH, em que M é uma categoria módulo indecomponível semissimples, bem como traz um estudo detalhado das ferramentas usadas para tal.

Palavras chave: Categoria módulo, Equivariantização, Dimensão de Frobenius-Perron, Grupo (anel) de Grothendieck.

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora – UFSC), Dr. Juan Martín Mombelli (Universidad Nacional de Córdoba), Dr. Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Dr. Alcides Buss (UFSC), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC), Drª. Luz Adriana Maejía Castaño (UFSC), Dr. Sergio Tadao Martins (Suplente / UFSC). Data da defesa: 19/04/2017


3. Maíra Fernandes Gauer Palma – Tese

Título: Propriedades assintóticas para um problema semilinear de equações de evolução de segunda ordem com potências
fracionárias

Resumo: Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e também o comportamento assintótico de soluções para equações diferenciais de evolução de segunda ordem no tempo com operadores fracionários de Laplace em . Nós obtemos melhores taxas de decaimento com menos hipóteses nos dados iniciais quando comparado a resultados anteriores na literatura. Para certos casos, observamos que a estrutura dissipativa da equação é do tipo de perda de regularidade. Devido a essa estrutura especial, quando obtemos estimativas na região de alta frequência no espaço de Fourier, é necessário impor regularidade adicional nos dados iniciais para obter a mesma estimativa de decaimento da região de baixa frequência. Os resultados obtidos neste trabalho podem ser aplicados para vários problemas de valor inicial de equações de segunda ordem, como por exemplo, equação da onda, equação de placas, equação IBq, entre outras.

Palavras chave: 1. EDP. 2. propriedades assintóticas. 3. estabilidade. 4. problemas de evolução

Banca: Prof. Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador – UFSC), Prof. Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala (UFRJ e LNCC), Prof. Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP), Prof. Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC), Prof. Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC) Data da defesa: 20/12/2017.



2018

4. Samara Costa Lima – Tese

Título: Inexact Versions of the Spingarn’s Partial Inverse Method with Applications to Operator Splitting and Optimization.

Resumo: Neste trabalho, propomos e estudamos a complexidade computacional (em número de iterações) de uma versão inexata do método das inversas parciais de Spingarn.  Os principais resultados de complexidade são obtidos através de uma análise do método proposto no contexto do hybrid proximal extragradient (HPE) method de Solodov e Svaiter, para o qual resultados decomplexidade pontual e ergódica foram obtidos recentemente por Monteiro e Svaiter. Como aplicações, propomos e analisamos a complexidade computacional de um algoritmo inexato de decomposição  — que generaliza o algoritmo de decomposição de Spingarn — e de um algoritmo paralelo do tipo forward-backward para otimização convexa com múltiplos termos na função objetivo. Além disso, mostramos que o algoritmo scaled proximal decomposition on the graph of a maximal monotone operator (SPDG), originalmente introduzido e estudado por Mahey, Oualibouch e Tao (1995), pode ser analisado através do formalismo das inversas parciais de Spingarn. Mais precisamente, mostramos que sob as hipóteses consideradas por Mahey, Oualibouch and Tao, a inversa parcial de Spingarn (do operador monótono maximal que define o problema em consideração) é um operador fortemente monótono, o que permite empregar resultados recentes sobre convergência e complexidade computational de métodos proximais para operadores fortemente monótonos. Ao fazer isso, obtemos adicionalmente uma convergência potencialmente mais rápida para o algorítmo SPDG e um limite superior mais preciso sobre o número de iterações necessárias para alcançar tolerâncias prescritas, especialmente para problemas mal-condicionados.

Palavras chave: Métodos de ponto proximal inexatos. Método das inversas parciais de Spingarn. Algoritmos de decomposição. Operadores fortemente monótonos. Taxas de convergência.

Banca: Dr. Maicon Marques Alves (Orientador – UFSC), Dr. Orizon Pereira Ferreira (UFG), Dr. Adriano De Cezaro (FURG), Dr. Licio Hernanes Bezerra (UFSC), Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC), Dr. Fábio Júnior Margotti (Suplente – UFSC). Data da defesa: 15/02/2018.


5. Jonathan Ruiz Quiroz – Tese

Título: Reconstrução de dados de fronteira associados à equação de Poisson.

Resumo: Primeiramente, analisamos o problema direto utilizando técnicas de linearização. Assim, substituímos o coeficiente convectivo pelo fluxo de distribuição de calor. Neste contexto, empregamos as seguintes abordagens: o método de colocação pseudoespectral de Chebyshev, a análise de Fourier e o método de Galerkin. Mostramos resultados de existência e unicidade da solução assim como, uma relação linear entre o fluxo e a temperatura na parede externa do tubo.
Para o problema inverso, utilizamos estimativas de temperatura na borda externa como dados de entrada e vemos que as aproximações do fluxo são recuperadas através da resolução dum sistema linear mal posto e, consequentemente, quando existe a solução, é sensível às pequenas perturbações nos dados. Para contornar esta dificuldade, as estimativas do fluxo serão recuperadas via técnicas de regularização: a decomposição em valores singulares truncados, regularização de Tikhonov e expansão truncada de valores singulares; sendo os parâmetros de regularização capturados pelo Princípio da Discrepância. Além disso, taxas de convergência são obtidas sob certas hipóteses na solução.
Para a modelagem computacional, utilizamos dados sintéticos e experimentais encontrados na literatura. Os resultados numéricos são comparados em termos de aproximação e tempo de execução.

Palavras chave: Problema inverso de calor, tubos enrolados, método pseudoespectral de Chebyshev, Análise de Fourier, Método de Galerkin, regularização, Princípio da Discrepância.

Banca: Dr. Fermín Sinforiano Viloche Bazãn (Orientador – UFSC), Dr. Julio Cesar Ruiz Claeyssen (UFRGS), Dr. Roger Behling (UFSC – Blumenau), Dr. Juliano de Bem Francisco (UFSC), Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (UFSC) e Dr. Leonardo Silveira Borges (UFSC – Suplente). Data da defesa: 14/03/2018.


6. Lila Lisbeth Tenorio Paredes – Tese

Título: Método de Restauração Inexata Aplicado ao Problema de Minimização com Restrições de Ortogonalidade.

Resumo: Neste trabalho, apresentamos e estudamos o Algoritmo de Restauração Inexata não monótono para resolver problemas de minimização com restrições de ortogonalidade, que combina as ideias de Fischer et al [1] e Hager et al [2]. Desenvolvemos as ferramentas teóricas para caracterizar o subespaço tangente ao conjunto viável, o qual nos permite descrever o Algoritmo proposto. Mostramos, sob certas hipóteses, a boa definição do Algoritmo assim com a convergência global a pontos viáveis do problema.
O método de Restauração Inexata, é um método iterativo que consta de duas fases: viabilidade e otimalidade. Neste trabalho a fase de viabilidade será feita de forma exata utilizando a transformação de Cayley. Portanto, sequência de pontos restaurados pertencem ao conjunto viável. Na fase de otimalidade, as direções de descida podem ser obtidas da seguintes maneiras: o gradiente espectral projetado ou a minimização do Lagrangiano restrito ao subespaço tangente. Para resolver este ultimo problema utilizamos o método de gradiente conjugado [3].
O implementação computacional do Algoritmo proposto é realizado no software MATLAB e é comparado com o método de Wen et al [21] e o método Gradiente Conjugado do pacote ManOpt [51] para diferentes problemas testes da literatura.

Palavras chave: Restauração Inexata, não monótono, restrições de ortogonalidade, transformação de Cayley.

Banca: Dr. Fermín Sinforiano Viloche Bazãn (Orientador – UFSC), Drª. Sandra Augusta Santos (UNICAMP), Dr. Roger Behling (UFSC – Blumenau), Dr. Luciano Bedin, Dr. Douglas Soares Gonçalves (UFSC) e Dr. Leonardo Silveira Borges (UFSC – Suplente). Data da defesa: 15/03/2018.


7. Edson Luiz Valmorbida – Tese

Título: Indicadores de erro e adaptação dinâmica de malha em aproximação de funcional de interesse para problemas parabólicos não lineares por métodos de Galerkin descontínuo.

Resumo: Este trabalho apresenta resultados teóricos e práticos sobre indicadores de erro equilibrados para funcional de interesse na aproximação de problemas elípticos lineares e parabólicos lineares e não-lineares pelo método de Galerkin descontínuo. A introdução dos fluxos equilibrados na representação do erro no funcional de interesse permite melhorar a qualidade do indicador de erro que é um primeiro resultado importante deste trabalho. A segunda contribuição do trabalho é a aproximação da solução do problema dual, que faz parte da representação do erro, pelo método de Galerkin descontínuo de ordem mais alta que o método primal. Neste caso, o indicador de erro torna-se assintoticamente exato. A construção de indicadores de erro em funcional de interesse para o método de Galerkin descontínuo no tempo e no espaço para problemas parabólicos lineares e não-lineares é a terceira contribuição deste trabalho. Todas as técnicas acima mencionadas usam recuperação equilibrada de fluxo discreto em espaço de Raviart-Thomas. A reconstrução de fluxo equilibrado numa base específica em espaços de Raviart-Thomas de alta ordem é mais uma contribuição importante. Resultados numéricos são apresentados no decorrer do trabalho para demonstrar a eficiência dos métodos apresentados. Os indicadores de erro também são utilizados para adaptação meta orientada em vários testes numéricos.

Palavras chave: Métodos de elementos finitos de Galerkin descontínuo. Espaços de Raviart-Thomas de alta ordem. Problemas elípticos. Problemas parabólicos não-lineares. Indicadores de erro em funcional de interesse.

Banca: Dr. Igor Mozolevski (Orientador – UFSC), Dr. Abimael Fernando Dourado Loula (LNCC), Dr. Álvaro Luiz de Bortoli (UFRGS), Dr. Licio Hernanes Bezerra (UFSC), Drª. Luciane Ines Assmann Schuh (UFSC). Data da defesa: 09/03/2018.


8. Paulinho Demeneghi – Tese

Título: Estrutura de ideais em álgebras de Steinberg

Resumo: Dado uma ação ampla de um semigrupo inverso sobre um espaço topológico Hausdorff, localmente compacto e totalmente desconexo, estudamos a estrutura de ideais do produto cruzado associado. Através do desenvolvimento de uma teoria de ideais induzidos, provamos que todo ideal no produto cruzado pode ser obtido como intersecção de ideais induzidos a partir de álgebras de grupos de isotropia. Isto pode ser interpretado como uma versão algébrica da conjectura de Effros-Hahn. Finalmente, como uma aplicação de nosso resultado, estudamos a estrutura de ideais da álgebra de Steinberg associada a um grupoide amplo interpretando esta álgebra como um produto cruzado algébrico por um semigrupo inverso.

Palavras chave: Semigrupo inverso, ação ampla, produto cruzado, álgebra de Steinberg, ideais, conjectura de Effros-Hahn.

Banca: Dr. Ruy Exel (Orientador – UFSC), Dr. Mikhailo Dokuchaev (IME-USP), Dr. Giuliano Boava (UFSC), Dr. Gilles Gonçalves de Castro (UFSC), Dr. Eliezer Batista (UFSC). Data da defesa: 13/07/2018.


9. Maria Nilde Fernandes Barreto Frederico – Tese

Título: Existência de soluções fortes T-periódicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema de ferrofluidos.

Resumo: Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte estabelecemos a existência de soluções fortes T-periódicas no tempo (período T) para um sistema magneto-elástico. O nosso principal resultado é para o caso em que o sistema tem dissipação mecânica linear e acoplamentos não lineares, que inclui uma força externa T-periódica. Provamos também a estabilidade condicional assintótica das soluções periódicas obtidas com a energia total das perturbações decaindo para zero no tempo de forma exponencial. Consideramos também o sistema no caso em que a dissipação mecânica é não-linear, com a não-linearidade do tipo $\rho(u_t)=|u_t|^{p}u_t$ e acoplamentos lineares. Com hipóteses adequadas sobre $\rho$, provamos a existência e a unicidade de soluções fortes T-periódicas no tempo para $p \in [3,4]$. Na segunda parte deste trabalho, provamos a existência de soluções T-periódicas fracas (em dimensão 3) e fortes (dimensão 2) para as equações diferenciais parciais do modelo para ferrofluidos de Rosensweig, sob ação de uma função T-periódica nas equações para o campo magnético.

Palavras chave: soluções fortes, soluções periódicas, sistema magneto-elástico, magneto-elasticidade, ferrofluidos, fluidos magnéticos, modelo de Rosensweig.

Banca: Dr. Jáuber Cavalcante de Oliveira (Orientador – UFSC), Drª. Valéria Neves Domingos Cavalcanti (UEM), Dr. Gustavo Alberto Perla Menzala (LNCC), Dr. Cleverson Roberto da Luz (UFSC), Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC). Data da defesa: 31/07/2018.


 10. Mateus Medeiros Teixeira – Tese

Título: Cohomology for partial actions of Hopf algebras

Resumo: Neste trabalho, a teoria da cohomologia para ações parciais de álgebras de Hopf comutativa sobre álgebras comutativas é formulado. Esta teoria generaliza a teoria da cohomologia para álgebras de Hopf introduzidas por Sweedler e a teoria da coomologia para ações parciais de grupo, introduzidas por Dokuchaev e Khrypchenko. Alguns exemplos não triviais, não provenientes de grupos, são construídos. Dada uma ação parcial de uma álgebra Hopf cocomutativa H sobre uma álgebra comutativa A, provamos que há uma nova Álgebra de Hopf Ã, sobre um anel comutativo E(A), no qual H ainda atua parcialmente e que dá origem ao mesmas cohomologias que a álgebra original A. Estudamos também as extensões cleft parciais de álgebras comutativas por ações parciais de álgebras de Hopf cocomutativas e provam que estas extensões cleft parciais podem ser vistas como uma extensão cleft de Hopf algebroids.

Palavras chave: Álgebras de Hopf; ações parciais; Cohomologia parcial; produto cruzado parcial; extensões cleft parciais

Banca: Dr. Eliezer Batista (Orientador – UFSC), Dr. Mikhailo Dokuchaev (USP), Dr. Antônio Paques (UFRGS), Dr. Mykola Khrypchenko (UFSC) e Dr. Felipe Lopes Castro (UFSC). Data da defesa: 28/09/2018.


 11. Viviane Maria Beuter – Tese

Título: Partial actions of inverse semigroups and their associated algebras

Resumo: Estudamos a interação entre álgebras de Steinberg e skew álgebras de grupos e caracterizamos isomorfismos de skew álgebras de grupos que preservam diagonal, sobre álgebras comutativas, em termos de equivalência contínua de órbitas das ações parciais associadas. Dada uma ação parcial “?”  de um semigrupo inverso S em uma álgebra A, pode-se construir a sua skew álgebra de semigrupo inverso A?S associada. Mostramos que qualquer álgebra de Steinberg, associada a um grupóide amplo e Hausdorff, pode ser visto como uma skew álgebra de semigrupos inverso.

Quando A é comutativo, provamos que A?S  é simples se, e somente se,  A é um subanel comutativo maximal de A?S e A é S-simples. Aplicamos este resultado no contexto de ações de semigrupos inversos topológicos para conectar a simplicidade do skew anel de semigrupo inverso associado com propriedades topológicas da ação, e apresentamos uma nova prova do critério de simplicidade para uma álgebra de Steinberg associada a um  grupóide amplo e Hausdorff.

De maneira semelhante à Exel, construímos o grupóide de germes associado a uma ação parcial de semigrupos inversos. Descrevemos a álgebra de Steinberg de um grupóide de germes, amplo e Hausdorff como uma skew álgebra de semigrupo inverso. Também provamos que, sob hipóteses naturais, a direção oposta é válida. Finalizamos esta tese com uma descrição e estudo de equivalência contínua de órbitas para ações parciais topologicalmente principais de semigrupos inversos, e aplicamos nossos resultados em álgebras de caminhos de Leavitt.

Palavras chave: Semigrupos inversos. Grupóides amplos. Ações parciais. Skew álgebras de semigrupos inversos. Álgebras de Steinberg. Simplicidade. Grupóides de germes. Ações topologicamente principais. Equivalência contínua de órbitas.

Banca: Professores Dr. Daniel Gonçalves (Orientador – UFSC), Dr. Thierry Giordano (University of Ottawa), Dr. Per Johan Öinert (Bleking Intitute of Technology), Dr. Danilo Royer (UFSC) e Dr. Mykola Khrypchenko (UFSC). Data da defesa: 29/11/2018.



2019

12. Edson Cilos Vargas Júnior – Tese

Título: σ− evolution models with low regular time-dependent structural damping

Neste trabalho consideramos modelos de evolução σ sob o efeito de um termo de amortecimento representado pela ação do operador laplaciano com potência fracionária e coeficiente dependendo do tempo dado por b(t)(-Δ)θut. O objetivo do trabalho é obter taxas de decaimento do tipo Lp-Lq com 1≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞  para a solução e sua primeira derivada no tempo, considerando baixa regularidade no coeficiente b = b(t).  Mais precisamente, considerando um t0 adequado, tomamos b(t) “confinada” na curva g(t) := (1+t)αlnγ(1+t) para t ≥ t0. Além disso, no intervalo [0, t0] assumimos b positiva e que satisfaça condições adequadas para garantir existência de solução. Nesse contexto, quando comparadas a resultados anteriores que assumem mais regularidade na função b, obtemos as mesmas taxas de decaimento para solução quando γ = 0 e obtemos taxas melhores quando γ ≠ 0. Para a primeira derivada no tempo da solução, obtemos taxas melhores inclusive quando γ = 0.

Escrita de maneira equivalente, uma importante conjectura afirmava que: “Para θ=0, quando o coeficiente do amortecimento é efetivo, mesmo sem assumir hipóteses sobre a derivada do coeficiente, é possível obter as mesmas taxas de decaimento para o problema”. No presente trabalho fornecemos uma resposta à conjectura, mostrando inclusive que há outras situações na qual a conjectura também permanece válida.

Palavras chave: Equação da onda, Equação de placas; Amortecimento friccional; Amortecimento viscoelástico; Amortecimento fracionário; Taxas de decaimento acentuadas; Amortecimento não efetivo; Amortecimento Efetivo; Métodos dos multiplicadores; Espaço de Fourier;

Banca: Dr. Cleverson Roberto da Luz (Orientador UFSC), Dr. Marcelo Rempel Ebert (USP), Dr. Marcello D’Abbicco (University of Bari), Dr. Ruy Coimbra Charão (UFSC) e Dr. Matheus Cheque Bortolan (UFSC). Data da defesa: 11/02/2019.


13. Juan Carlos Torres Espinoza – Tese

Título: Propriedades Assintóticas para Equações Dissipativas de Segunda Ordem com Laplacianos Fracionários em Rn

Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções para uma equação semilinear generalizada de evolução de segunda ordem com operadores de Laplace com potências fracionárias. Além disso, estudamos taxas de decaimento da soluçao e da energia associada na norma L2. Para a equação linear associada, usando uma expansão assintótica da solução do problema no espaço de Fourier mostramos otimalidade nas taxas obtidas . Também estudamos o caso de “super damping” onde refinando o método para os casos padrão provamos otimalidade da taxa na norma L2. Nossos resultados generalizam trabalhos anteriores que lidam com casos particulares das potências fracionárias.

Palavras chave: Equação tipo Placas/Boussinesq. Laplaciano fracionário. Taxas de decaimento. Expansão assintótica. Super damping. Otimalidade de taxa.

Banca: Dr. Ruy Coimbra Charão (Orientador UFSC), Higidio Portillo Oquendo (UFPR), Dr. Paulo Mendes de Carvalho Neto (UFSC), Dr. Cleverson Roberto da Luz (UFSC), e Dr. Miguel Ángel Alejo Plana (UFSC). Data da defesa: 19/03/2019.


14. Carla Mörschbächer – Tese

Título: MÓDULOS SIMPLES DE ÁLGEBRAS DE HOPF PONTUADAS SOBRE O DIHEDRAL Dm

A classificação das álgebras de Hopf  pontuadas   finito dimensionais  sobre , em que  e ,  foi concluída em  [12], para o caso em que   é um corpo algebricamente fechado  de característica zero.  A menos de isomorfismo, tais álgebras são: 1) , com  e   2) ,  com   3)  com  ou  e  e 4)  com  e .  Os conjuntos ,   e  são provenientes do   método de classificação utilizado e são tais que  as álgebras de Nichols ,   e  , esta última associada às álgebras do item 4, possuem dimensão finita e  e  são famílias de elementos de . Neste trabalho, damos contribuições a cerca da teoria de representação destas álgebras.  Calculamos   conjuntos completos de    módulos simples e não  isomorfos sobre as álgebras descritas nos dois primeiros itens e para  , em que . Além disso, estudamos os -módulos e os classificamos efetivamente quanto ao fato de ser simples ou não, para o caso em que   e  é um conjunto específico.

Palavras chave: Álgebras de Hopf pontuadas, Módulos simples, Grupo Dihedral, Representações  de álgebras, Anel de Grothendieck.

Banca: Drª. Virgínia Silva Rodrigues (Orientadora UFSC), Dr. Alveri Alves Sant’Ana (UFRGS), Drª. Bojana Femic (Universidad de La República Montevideo), Dr. Abdelmoubine Amar Henni (UFSC) e Dr. Sérgio Tadao Martins (UFSC). Data da defesa: 08/07/2019.